الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة العادية 2026

Exercice 3 (2.5 points)

Une urne contient cinq boules blanches, quatre boules noires et deux boules vertes. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.

On considère les événements suivants :

$A$ : « Les trois boules tirées sont de même couleur. »
$B$ : « Tirer au moins une boule verte. »

1.a. Montrer que $p(A) = \frac{14}{165}$

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Calculons d'abord : $Card(\Omega)$

🔵 Chaque tirage est une combinaison de 3 éléments parmi 11
Donc :
$\text{Card}(\Omega) = C_{11}^3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2} = 165$

L'événement $A$ est réalisé si on tire $\{B,B,B\}$ ou $\{N,N,N\}$

\text{Card}(A) = C_5^3 + C_4^3 = 10 + 4 = 14

\implies p(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{14}{165}

1.b. Calculer $p(\overline{B})$ , la probabilité de l'événement contraire de $B$ et déduire que $p(B) = \frac{27}{55}$

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L'événement contraire $\overline{B}$ signifie « Ne tirer aucune boule verte »,

$\overline{B}$ est réalisé si on tire $\{\overline{V},\overline{V},\overline{V}\}$

Le nombre de boules non-vertes est $5 + 4 = 9$ .

\text{Card}(\overline{B}) = C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

D'où :

\implies p(\overline{B}) = \frac{\text{Card}(\overline{B})}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{84}{165} = \frac{28}{55}

p(B) = 1 - p(\overline{B}) = 1 - \frac{28}{55} = \frac{27}{55}

Calculer la probabilité $p(A \cup B)$ .

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On sait que :

p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)

L'événement $A \cap B$ signifie « Les trois boules tirées sont de même couleur et contiennent au moins une boule verte », ce qui reviendrait à tirer 3 boules vertes. Comme il n'y a que 2 boules vertes dans l'urne, cet événement est impossible.

Donc $A \cap B = \varnothing \implies p(A \cap B) = 0$ .

et donc :

\begin{aligned} p(A \cup B) &= p(A) + p(B) \\ &= \frac{14}{165} + \frac{27}{55} \\ &= \frac{19}{33} \end{aligned}

On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées.

3.a. Copier et compléter le tableau ci-dessous, qui représente la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$

$x_i$	0	1	2
$p(X = x_i)$

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on a $X=$ nombres de boules vertes obtenue aprés le tirage

puisque on tire 3 boiles et on a que 2 boules vertes dans l'urne alors

les valeurs possibles prises par $X$ sont $0, 1$ et $2$ .

**Pour $X = 0$ :

p(X = 0) = p(\overline{B}) = \frac{28}{55}

Pour $X = 1$ : est réalisé si on tire $\{V,\bar{V},\bar{V}\}$
$\text{Card}(X = 1) = C_2^1 \times C_9^2 = 2 \times 36 = 72$ $p(X = 1) = \frac{72}{165} = \frac{24}{55}$
Pour $X = 2$ : est réalisé si on tire $\{V,V,\bar{V}\}$
$\text{Card}(X = 2) = C_2^2 \times C_9^1 = 1 \times 9 = 9$ $p(X = 2) = \frac{9}{165} = \frac{3}{55}$

(Vérification : $\frac{28}{55} + \frac{24}{55} + \frac{3}{55} = \frac{55}{55} = 1$ )

Le tableau complété de la loi de probabilité de $X$ est :

$x_i$	0	1	2
$p(X = x_i)$	$\frac{28}{55}$	$\frac{24}{55}$	$\frac{3}{55}$

3.b. Montrer que l'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X) = \frac{6}{11}$

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Par définition, l'espérance mathématique $E(X)$ est donnée par :

\begin{aligned} E(X) &= \sum (x_i \times p(X = x_i)) \\ &= 0 \times p(X = 0) + 1 \times p(X = 1) + 2 \times p(X = 2) \\ &= 0 \times \frac{28}{55} + 1 \times \frac{24}{55} + 2 \times \frac{3}{55} \\ &= 0 + \frac{24}{55} + \frac{6}{55} \\ &= \frac{30}{55}= \frac{6}{11} \end{aligned}