الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة العادية 2026

On a :

(Sous forme exponentielle : $a = e^{i\frac{\pi}{6}}$)

• Pour $b^2 = a$ :

  $b^2 = \left(e^{i\frac{\pi}{12}}\right)^2 = e^{i\frac{2\pi}{12}} = e^{i\frac{\pi}{6}}=a$

• Pour $b\bar{b} = 1$ :

  $b\bar{b} = |b|^2 = \left|e^{i\frac{\pi}{12}}\right|^2 = 1^2 = 1$

Développons le membre de droite :

• Pour $d=b(b + \bar{b})$ :

  $$\begin{aligned} T(A) = D &\iff \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OC} \\ & \iff d-a=c-0 \\ &\iff d=a+c=a+1 \end{aligned}$$

  Or, d'après 1.b, $a = b^2$ et $1 = b\bar{b}$.

  En remplaçant, on obtient :

  $d = b^2 + b\bar{b} = b(b + \bar{b})$

• Alignement des points $O$, $B$ et $D$ :

  On a : $d = b(b + \bar{b})$ donc $\dfrac db =b + \bar{b}$

  et on sait que $b + \bar{b}=2\mathcal{R}e(b)$, on pose $k=2\mathcal{R}e(b)$, donc :

  $$\dfrac db = k\in\R$$

  Par conséquent, les vecteurs $\overrightarrow{OD}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont colinéaires, et donc les points $O$, $B$ et $D$ sont alignés.

On a $d = k \cdot b$ avec $k = 2\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$. Puisque $0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{2}$, on a $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) > 0$, donc $k > 0$.

En passant aux arguments :

Comme $k$ est un réel strictement positif, $\arg(k) \equiv 0 [2\pi]$. Ainsi :

• On sait que $c = 1$ et que $d = a + 1$. donc :

  $$\frac{a-c}d=\frac{a - 1}{a + 1}$$

  D'après la question 1.c, on a $a - 1 = (2 - \sqrt{3})i(a + 1)$, ce qui implique directement :

  $$\frac{a - c}{d} = \frac{a - 1}{a + 1} = (2 - \sqrt{3})i$$

• $(AC) \perp (OD)$ :

  $$\arg\left(\frac{a - c}{d - 0}\right) \equiv \arg\left((2 - \sqrt{3})i\right) [2\pi]$$

  Comme $2 - \sqrt{3} > 0$ (car $2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$), l'argument d'un imaginaire pur imaginaire positif est $\frac{\pi}{2}$. Donc :

  $$(\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{CA}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$$

  Alors : les droites $(AC)$ et $(OD)$ sont perpendiculaires.

Rappel : Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

On a $T(A) = D$ donc $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OC}$. et donc $OCDA$ est un parallélogramme.

D'après la question 3.a, on a $(AC)\perp (OD)$.

Alors $OCDA$ est un losange. Par conséquent, $OCDA$ est un losange.