الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة العادية 2025

Exercice 3 (2,5 points)

Une urne contient six boules indiscernables au toucher :

Quatre boules blanches numérotées : $0$ , $1$ , $1$ , $1$
Deux boules noires numérotées : $0$ , $1$

On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. On considère les événements suivants :

$A$ : « Les deux boules tirées portent le numéro 1 »
$B$ : « Les deux boules tirées sont de même couleur »

1.a. Montrer que : $\mathbb{P}(A) = \dfrac{2}{5}$

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Chaque tirage simultané de 2 boules parmi 6 est une combinaison. Le nombre total de résultats possibles est :

\text{Card}(\Omega) = C_{6}^2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

L'événement $A$ signifie « obtenir deux boules portant le numéro 1 ». L'urne contient au total 4 boules portant le numéro 1 (3 blanches et 1 noire).

\text{Card}(A) = C_{4}^2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

D'où la probabilité :

\mathbb{P}(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

1.b. Montrer que : $\mathbb{P}(B) = \dfrac{7}{15}$

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L'événement $B$ signifie « obtenir deux boules de même couleur », c'est-à-dire tirez 2 boules blanches parmi les 4 blanches, OU tirez 2 boules noires parmi les 2 noires :

\text{Card}(B) = C_{4}^2 + C_{2}^2 = 6 + 1 = 7

D'où la probabilité :

\mathbb{P}(B) = \frac{\text{Card}(B)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{7}{15}

1.c. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

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Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)$ .

D'une part, on a :

\mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B) = \frac{2}{5} \times \frac{7}{15} = \frac{14}{75}

D'autre part, calculons $\mathbb{P}(A \cap B)$ . L'événement $A \cap B$ signifie « obtenir deux boules de même couleur ET qui portent le numéro 1 ». Comme l'urne ne contient qu'une seule boule noire portant le numéro 1, il est impossible de tirer deux noires avec le numéro 1. On doit donc obligatoirement piocher 2 boules blanches portant le numéro 1 (parmi les 3 disponibles).

\text{Card}(A \cap B) = C_3^2 = 3

\mathbb{P}(A \cap B) = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = \frac{15}{75}

Puisque $\mathbb{P}(A \cap B) \neq \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)$ (car $\frac{15}{75} \neq \frac{14}{75}$ ), les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

On répète l’expérience précédente trois fois successives. On considère la variable aléatoire $X$ indiquant le nombre de fois que l’on réalise l’événement $A$ .

2.a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, représentant la loi de probabilité de $X$ :

$X = x_i$	0	1	2	3
$\mathbb{P}(X=x_i)$	$\dfrac{27}{125}$

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L'expérience est répétée $n = 3$ fois de manière identique et indépendante. À chaque tirage, la probabilité de succès (réaliser l'événement $A$ ) est $p = \mathbb{P}(A) = \frac{2}{5}$ . La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = \frac{2}{5}$ , notée $X \sim \mathcal{B}\left(3, \frac{2}{5}\right)$ .

La formule de la loi binomiale est :

\mathbb{P}(X = k) = C_3^k \left(\frac{2}{5}\right)^k \left(1 - \frac{2}{5}\right)^{3 - k} = C_3^k \left(\frac{2}{5}\right)^k \left(\frac{3}{5}\right)^{3 - k}

Pour $k = 0$ : $\mathbb{P}(X = 0) = C_3^0 \left(\frac{2}{5}\right)^0 \left(\frac{3}{5}\right)^3 = 1 \times 1 \times \frac{27}{125} = \frac{27}{125}$
Pour $k = 1$ : $\mathbb{P}(X = 1) = C_3^1 \left(\frac{2}{5}\right)^1 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 3 \times \frac{2}{5} \times \frac{9}{25} = \frac{54}{125}$
Pour $k = 2$ : $\mathbb{P}(X = 2) = C_3^2 \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{3}{5}\right)^1 = 3 \times \frac{4}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{36}{125}$
Pour $k = 3$ : $\mathbb{P}(X = 3) = C_3^3 \left(\frac{2}{5}\right)^3 \left(\frac{3}{5}\right)^0 = 1 \times \frac{8}{125} \times 1 = \frac{8}{125}$

Voici le tableau de la loi de probabilité complet :

$X = x_i$	0	1	2	3
$\mathbb{P}(X=x_i)$	$\dfrac{27}{125}$	$\dfrac{54}{125}$	$\dfrac{36}{125}$	$\dfrac{8}{125}$

2.b. Calculer l’espérance $\mathbb{E}(X)$ de la variable aléatoire $X$ .

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Puisque $X$ suit une loi binomiale, son espérance mathématique s'obtient directement par la formule $\mathbb{E}(X) = n \times p$ :

\mathbb{E}(X) = 3 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1{,}2