Sujetexercice 1exercice 2exercice 3Problème

الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة العادية 2025

Exercice 1 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points A(0,0,2)A(0, 0, 2), B(2,0,0)B(2, 0, 0) et la sphère (S)(S) de centre OO et de rayon R=2R = 2.

1.a. Déterminer l'équation cartésienne de la sphère (S)(S)

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M(xyz)∈(S)  ⟺  OM=R  ⟺  OM2=R2  ⟺  x2+y2+z2=4\begin{aligned} M\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in (S) &\iff OM = R \\ &\iff OM^2 = R^2 \\ &\iff x^2 + y^2 + z^2 = 4 \end{aligned}

1.b. Vérifier que les points AA et BB appartiennent à la sphère (S)(S)

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Méthode 1

  • OA=02+02+22=2=ROA = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = 2 = R donc A∈(S)A \in (S)
  • OB=22+02+02=2=ROB = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = 2 = R donc B∈(S)B \in (S)

Méthode 2 On vérifie que les coordonnées de chaque point vérifient l'équation de la sphère :

  • Pour A(0,0,2)A(0, 0, 2), on a : 02+02+22=40^2 + 0^2 + 2^2 = 4, donc A∈(S)A \in (S).

  • Pour B(2,0,0)B(2, 0, 0), on a : 22+02+02=42^2 + 0^2 + 0^2 = 4, donc B∈(S)B \in (S).

  1. Soit II le milieu du segment [AB][AB].

2.a. Déterminer l’intersection du plan (OAB)(OAB) avec la sphère (S)(S)

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Puisque A,B∈(S)A, B \in (S) et que OO est le centre de (S)(S), alors le plan (OAB)(OAB) coupe la sphère (S)(S) selon un grand cercle de centre OO et de rayon R=2R = 2.

2.b. Vérifier que OI→⋅AB→=0\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{AB} = 0, puis montrer que d(O,(AB))=2d(O, (AB)) = \sqrt{2}

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On a I(0+22,0+02,2+02)I\left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+0}{2}\right) Donc I(1,0,1)I(1, 0, 1)

OI→(101)\overrightarrow{OI}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} et AB→(20−2)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}

Donc :

OI→⋅AB→=1×2+0×0+1×(−2)=0\begin{aligned} \overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{AB} &= 1 \times 2 + 0 \times 0 + 1 \times (-2) \\ &= 0 \end{aligned}

On a OI→⋅AB→=0\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 et I∈(AB)I \in (AB) donc :

d(O,(AB))=OI=12+02+12=2\begin{aligned} d(O, (AB)) &= OI \\ &= \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{2} \end{aligned}
  1. On considère un point M(0,m,0)M(0, m, 0) de l’espace, où m∈Rm \in \mathbb{R}.

3.a. Vérifier que AB→∧AM→=2mi⃗+4j⃗+2mk⃗\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AM} = 2m\vec{i} + 4\vec{j} + 2m\vec{k}

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AB→(20−2)etAM→(0m−2)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 0 \\ m \\ -2 \end{pmatrix}

AB→∧AM→=∣0m−2−2∣i⃗−∣20−2−2∣j⃗+∣200m∣k⃗=2mi⃗+4j⃗+2mk⃗\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AM} &= \begin{vmatrix} 0 & m \\ -2 & -2 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & m \end{vmatrix} \vec{k} \\ &= 2m\vec{i} + 4\vec{j} + 2m\vec{k} \end{aligned}

3.b. Déduire que mx+2y+mz−2m=0mx + 2y + mz - 2m = 0 est une équation cartésienne du plan (ABM)(ABM)

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On a AB→∧AM→\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AM} est un vecteur normal au plan (ABM)(ABM).

Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABM)(ABM) peut s'écrire sous la forme :

2mx+4y+2mz+d=02mx + 4y + 2mz + d = 0

Or, le point B(2,0,0)∈(ABM)B(2, 0, 0) \in (ABM), donc :

2m×2+4×0+2m×0+d=0  ⟹  4m+d=0  ⟹  d=−4m\begin{aligned} &2m \times 2 + 4 \times 0 + 2m \times 0 + d = 0 \\ &\implies 4m + d = 0 \\ &\implies d = -4m \end{aligned}

Ainsi, l'équation devient :

2mx+4y+2mz−4m=02mx + 4y + 2mz - 4m = 0

En simplifiant par 2, on obtient :

mx+2y+mz−2m=0mx + 2y + mz - 2m = 0

3.c. Montrer que d(O,(ABM))=2∣m∣4+2m2d(O, (ABM)) = \frac{2|m|}{\sqrt{4 + 2m^2}}

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d(O,(ABM))=∣0+0−2m∣m2+22+m2=2∣m∣4+2m2\begin{aligned} d(O, (ABM)) &= \frac{|0 + 0 - 2m|}{\sqrt{m^2 + 2^2 + m^2}} \\ &= \frac{2|m|}{\sqrt{4 + 2m^2}} \end{aligned}

4. Le plan (ABM)(ABM) coupe la sphère (S)(S) suivant un cercle (Γm)(\Gamma_m) de rayon rr. Montrer que r=2+42+m2r = \sqrt{2 + \frac{4}{2 + m^2}} et déduire que : 2<r≤2\sqrt{2} < r \le 2 pour tout m∈Rm \in \mathbb{R}

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On a :

r=R2−d2(O,(ABM))=4−4m24+2m2=4−2m22+m2=4(2+m2)−2m22+m2=8+4m2−2m22+m2=8+2m22+m2=2+42+m2\begin{aligned} r &= \sqrt{R^2 - d^2(O, (ABM))} \\ &= \sqrt{4 - \frac{4m^2}{4 + 2m^2}} \\ &= \sqrt{4 - \frac{2m^2}{2 + m^2}} \\ &= \sqrt{\frac{4(2 + m^2) - 2m^2}{2 + m^2}} \\ &= \sqrt{\frac{8 + 4m^2 - 2m^2}{2 + m^2}} \\ &= \sqrt{\frac{8 + 2m^2}{2 + m^2}} \\ &= \sqrt{2 + \frac{4}{2 + m^2}} \end{aligned}

Comme 42+m2>0\frac{4}{2 + m^2} > 0, on en déduit que :

2+42+m2>2  ⟹  r>22 + \frac{4}{2 + m^2} > 2 \implies r > \sqrt{2}

Pourquoi r≤Rr \le R ? Posons d=d(O,(ABM))d = d(O, (ABM)). On a r=R2−d2r = \sqrt{R^2 - d^2}.

d2≥0  ⟹  −d2≤0  ⟹  R2−d2≤R2  ⟹  R2−d2≤R  ⟹  r≤R\begin{aligned} d^2 \ge 0 &\implies -d^2 \le 0 \\ &\implies R^2 - d^2 \le R^2 \\ &\implies \sqrt{R^2 - d^2} \le R \\ &\implies r \le R \end{aligned}

Or, on sait que R=2R = 2 (le rayon de la sphère (S)(S)). Donc :

2<r≤2\sqrt{2} < r \le 2