الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة العادية 2025

Exercice 1 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points
$A(0, 0, 2)$, $B(2, 0, 0)$ et la sphère $(S)$ de centre $O$ et de rayon $R = 2$

1. a) Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $(S)$

   b) Vérifier que les points $A$ et $B$ appartiennent à la sphère $(S)$

2. Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$

   a) Déterminer l’intersection du plan $(OAB)$ avec la sphère $(S)$

   b) Vérifier que $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$, puis montrer que $d(O, (AB)) = \sqrt{2}$

3. On considère un point $M(0, m, 0)$ de l’espace, où $m \in \mathbb{R}$

   a) Vérifier que $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AM} = 2m\vec{i} + 4\vec{j} + 2m\vec{k}$

   b) Déduire que $mx + 2y + mz - 2m = 0$ est une équation cartésienne du plan $(ABM)$

   c) Montrer que $d(O, (ABM)) = \dfrac{2|m|}{\sqrt{4 + 2m^2}}$

4. Le plan $(ABM)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma_m)$ de rayon $r$

montrer que $r=\sqrt{ 2+\dfrac{4}{2+m^2} }$ et déduire que : $\sqrt2 < r \le 2$ pour tout $m\in \R$

Exercice 2 (3,5 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A, B, C, D$ et $\Omega$ d'affixes respectives :

$$a = 1 + 2i, \quad b = \bar{a}, \quad c = \dfrac{3(3+i)}{2}$$ $$d = \dfrac{3(1+i)}{2}, \quad \omega = \dfrac{5}{2}$$

1. a) Vérifier que $a + b = 2$ et déduire que l'affixe du point $P$, milieu du segment $[AB]$, est $p = 1$

   b) Montrer que $a$ et $b$ sont les solutions de l'équation : $z^2 - 2z + 5 = 0 \quad \text{dans } \mathbb{C}$

2. a) Vérifier que $|a - \omega| = |b - \omega| = |\omega - c|$

   b) Déduire que $\omega$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$

3. a) Vérifier que $\dfrac{d - c}{a - b} = \dfrac{3}{4} i$

   b) Montrer que $d - b = (c - a)e^{\frac{i\pi}{2}}$, puis déduire que les droites $(DB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires

4. Soit $h$ l'homothétie de centre $C$ et de rapport $\dfrac{2}{3}$ qui transforme chaque point $M$ du plan d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$. On pose $h(P) = G$

   a) Vérifier que $z' = \dfrac{2}{3}z + \dfrac{1}{3}c$

   b) Montrer que l'affixe du point $G$ est : $g = \dfrac{13}{6} + \dfrac{1}{2}i$

5. Montrer que les points $\Omega$, $G$ et $D$ sont alignés.

Exercice 3 (2,5 points)

Une urne contient six boules indiscernables au toucher :

• Quatre boules blanches numérotées : $0$, $1$, $1$, $1$
• Deux boules noires numérotées : $0$, $1$

On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne.

On considère les événements suivants :

• $A$ : « Les deux boules tirées portent le numéro 1 »
• $B$ : « Les deux boules tirées sont de même couleur »

1. a) Montrer que : $\mathbb{P}(A) = \dfrac{2}{5}$

   b) Montrer que : $\mathbb{P}(B) = \dfrac{7}{15}$

   c) Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

2. On répète l’expérience précédente trois fois successives. On considère la variable aléatoire $X$ indiquant le nombre de fois que l’on réalise l’événement $A$.

   a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, représentant la loi de probabilité de $X$ :

   $X = x_i$	0	1	2	3
   $\mathbb{P}(X=x_i)$	$\dfrac{27}{125}$

   b) Calculer l’espérance $\mathbb{E}(X)$ de la variable aléatoire $X$.

Problème (11 points) :

Partie I :

Le graphique ci-contre représente les courbes $\left( C_s \right)$ et $\left( C_h \right)$ des fonctions : $g : x \mapsto x^2$ et $h : x \mapsto 2 \ln x - (\ln x)^2$ sur l’intervalle $]0, +\infty[$ dans un même repère orthonormé.

1. a) Justifier graphiquement que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$ : $g(x) - h(x) > 0$

   b) Déduire que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$ : $\dfrac{2 \ln x - (\ln x)^2}{x^2} < 1$

2. a) Vérifier que la fonction $H : x \mapsto x \ln x - x$ est une primitive de la fonction $x \mapsto \ln x$ sur l’intervalle $]0, +\infty[$, puis déduire que $\displaystyle\int_1^{e^2} \ln(x) dx = 1 + e^2$

   b) En utilisant une intégration par parties, montrer que $\displaystyle\int_1^{e^2} (\ln x)^2 dx = 2e^2 - 2$

   c) Résoudre sur l’intervalle $]0, +\infty[$, l’équation $h(x) = 0$ et déduire les deux points d’intersection de la courbe $\left( C_h \right)$ avec l’axe des abscisses.

   d) Déduire, en unité d’aire, l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\left( C_h \right)$, l’axe des abscisses, et les droites d’équations $x = 1$ et $x = e^2$.

Partie II :

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par :

$$f(x) = x - \dfrac{(\ln x)^2}{x}$$

Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. a) Vérifier que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ et donner une interprétation géométrique de ce résultat.

   b) Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x} = 0$ (on peut poser $t = \sqrt{x}$), puis calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.

   c) Déduire que la droite d’équation $y = x$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

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2. a) Montrer que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$, $f'(x) = 1 - \dfrac{2 \ln x - (\ln x)^2}{x^2}$.

   b) Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0, +\infty[$ (utiliser la question Partie I-1-b).

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3. a) Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0, +\infty[$.

   b) Vérifier que $e^{-1} < \alpha < 1$ et montrer que $\ln \alpha = -\alpha$.

   c) Montrer que $f(x) \leq x$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$.

   d) Montrer que $y = x$ est l’équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d’abscisse 1.

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4. Le graphique ci-contre représente la courbe $(C_f)$ dans le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

   Soit $\varphi$ la restriction de $f$ sur l’intervalle $]0,1]$.

   a) Montrer que $\varphi$ admet une fonction réciproque $\varphi^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

   b) Montrer que $\varphi^{-1}$ est dérivable en 0 et que $(\varphi^{-1})'(0) = \dfrac{\alpha}{2 + 2\alpha}$.

   c) Recopier la courbe de $\varphi$ et construire la courbe de $\varphi^{-1}$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

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Partie III :

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = e$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Montrer par récurrence que $1 < u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

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2. a) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante (utiliser la question Partie II-3-c).

   b) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

   c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.