I. Branches infinies

1) Asymptotes

Définition

• Si $\boxed{\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty}$ alors on dit que la droite d’équation $x=a$ est une asymptote à la courbe $(C_f)$, et elle est parallèle à l’axe des ordonnées

• Si $\boxed{\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)=b}$, alors on dit que la droite d’équation $y=b$ est une asymptote à la courbe $(C_f)$, et elle est parallèle à l’axe des abscisses

• Si $\boxed{\lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)-(ax+b)=0}$ où $a\ne0$, alors on dit que la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $\pm \infty$

Propriété

La droite d’équation $y=ax+b$ est une asymptote à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$ si :

$$\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=a ~~~et~~~ \lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)-ax=b$$

Exemples

Dans chacun des cas suivants : $(C_f)$ est la courbe représentative de la fonction $f$

1) Asymptotes horizontale et verticales :

$$f(x)=2+\dfrac1x$$

• on a $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=2$

  donc : la droite d'équation $y=2$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

  De m$\hat{e}$me au voisinage de $-\infty$

• on a $\lim\limits_{x\to0^+} f(x)=+\infty$

  donc : la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote virticale à $(C_f)$

• on a $\lim\limits_{x\to0^-} f(x)=-\infty$

  donc : la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote virticale à $(C_f)$

• La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ et $f'(x)=\frac{-1}{x^2}<0$

Donc :

Graphiquement :

2) Asymptote oblique :

$$f(x)=x+2-\frac{1}{x}$$

Au voisinage de $+\infty$ :

• $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

  car :

  • $\lim\limits_{x\to+\infty}x+2=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$

  • $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$

• Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$

$$\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} &= \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x+2 - \frac{1}{x}}{x} \\&= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{2}{x} - \frac{\frac{1}{x}}{x} \right) \\&= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} \right) \\ &= \fbox{1} \end{align*}$$

car $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{2}{x} = \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x^2} = 0$

Donc $a = 1$

• Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-ax$

$$\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty} \left(f(x) - ax \right) &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(f(x) - 1 \cdot x \right) \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(x + 2 - \frac{1}{x} - x \right)\\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(2 - \frac{1}{x} \right) \\ &= \fbox{2} \end{align*}$$

Donc la droite $(\Delta)$ d’équation $y = x + 2$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

Remarque : On peut montrer que : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-(x+2)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$

Au voisinage de $-\infty$ :

On a : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)-(x+2)=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$

Donc la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x+2$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$

Au voisinage de 0 :

$$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$$

car

• $\lim\limits_{x\to0^+}x+2=2$
• $\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$

Donc : la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote virticale à $(C_f)$

Variations de $f$ :

La fonction $f$ est dérivable sur $\R^*$ et on a :

$$f'(x)=1-\frac{-1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}>0$$

Donc :

Tracé de $C_f$ :

2) Branches paraboliques

Définition

• Si $\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ , alors on dit que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de $\pm\infty$

• Si $\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm\infty$, alors on dit que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de $\pm\infty$

• Si

  • $\lim\limits_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=a$
  • et$\lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)-ax=\pm\infty$

  Alors on dit que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite y=ax au voisinage de $\pm\infty$

Exemples

Dans chacun des cas suivants : $(C_f)$ est la courbe représentative de la fonction $f$

Cas 1 : $f(x)=\sqrt{x}$

$$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt x=+\infty$$ $$\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} &=\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\sqrt x}{x}\\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\sqrt x}{\sqrt{x^2}}\\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{x}{x^2}}\\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{1}{x}}\\ &=0 \end{align*}$$

Donc : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0$,

Alors la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de $+\infty$

Tracé de $C_f$ :

Cas 2 : $f(x)=-x^2$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} -x^2=-\infty$

$$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{-x^2}{x} =\lim\limits_{x\to+\infty} -x = -\infty$$

Donc : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty$,

Alors la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de $+\infty$

C'est la m$\hat{e}$me chose au voisinage de $-\infty$

Tracé de $C_f$ :

Cas 3 : $f(x)=x+\sqrt x$

• $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

• $$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} &= \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x+\sqrt{x}}{x} \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(1+\frac{\sqrt{x}}{x}\right) = \lim\limits_{x\to+\infty} \left(1+\sqrt{\frac{x}{x^2}}\right) \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(1+\sqrt{\frac{1}{x}}\right) = 1 \end{aligned}$$
• $$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to+\infty} \left(f(x)-x\right) &= \lim\limits_{x\to+\infty} \left(x+\sqrt{x}-x\right) \\ &= \lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt{x} = +\infty \end{aligned}$$

  Alors la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = x$ au voisinage de $+\infty$.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on a :

$$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$$

Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$

Tracé de $(C_f)$

II. Concavité et point d'inflexion d'une coube

Définition

$f$ est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• Si la courbe $(C_f)$ de $f$ est située au-dessus de ses tangentes, on dit que la courbe $(C_f)$ est convexe (ou que sa concavité est dans le sens des ordonnées positives) (figure 1).
• Si la courbe $(C_f)$ de $f$ est située au-dessous de ses tangentes, on dit que la courbe $(C_f)$ est concave (ou que sa concavité est dans le sens des ordonnées négatives) (figure 2).

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $x_0 \in I$.

On dit que le point $A(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de la courbe $(C_f)$ si la concavité de $(C_f)$ change au point $A$.

Propriété

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, et $x_0$ un élément de $I$

$\bullet$ si $\forall x\in I \ : \ f''(x)\ge 0$,

alors $(C_f)$ est convexe sur $I$

$\bullet$ si $\forall x\in I \ : \ f''(x)\le 0$,

alors $(C_f)$ est concave sur $I$

$\bullet$ si $f''(x_0) = 0$, et $f''$ change de signe au voisinage de $x_0$,

alors $A(x_0;f(x_0))$ est un point d’inflexion de la courbe $(C_f)$

Exemple

Considèrons la fonction : $f:x\mapsto x^3$ et $(C_f)$ sa courbe représentative.

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$

$f'(x)=3x^2$ donc $f''(x)=6x$

• $(\forall x\in[0;+\infty[) ~:~f''(x)\ge0$

  La courbe $C_f$ est convexe sur $]0;+\infty[$

• $(\forall x\in]-\infty;0]) ~:~f''(x)\le0$

  La courbe $C_f$ est convexe sur $]-\infty;0]$

Comme $f''(x)=0$ s'annule et change de signe en $0$ alors le point

$O(0,0)$ est un point d'inflexion pour $(C_f)$

III. Axe de symétrie - centre de symétrie

Soit $f$ une fonction définie sur $D$, et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé. $a$ et $b$ deux réels

1) Centre de symétrie

Propriété

$\Omega(a;b)$ est le centre de symétrie de la courbe $(C_f)$ si :

• $\forall x\in D_f ~:~ 2a-x\in D_f$
• $f(2a-x)+f(x)=2b$

Exercice

$f$ est une fonction numérique définie par : $f(x)=\dfrac{x-1}{(x^2-2x)^2}$

1. Déterminer $D_f$ le domaine de définition de $f$
2. Montrer que le point $\Omega(1;0)$ est le centre de symétrie de la courbe $(C_f)$

Correction

1. $D_f=\left\{x\in\R/ (x^2-2x)^2\ne 0\right\}$

Soit $x\in\R$

$$\begin{align*} (x^2-2x)^2=0 &\Leftrightarrow x^2-2x=0 \\ &\Leftrightarrow x(x-2)=0 \\ &\Leftrightarrow x=0 ~ ou ~ x-2=0 \\ &\Leftrightarrow x=0 ~ ou ~ x=2 \end{align*}$$ $$D_f=\R-\{0;2\}=]-\infty;0[\cup ]0;2[\cup ]2;+\infty[$$

2. Montrons que le point $\Omega(1;0)$ est un centre de symétrie de la courbe $(C_f)$

Ici ; $a=1$ et $b=0$

Soit $x\in D_f$ Montrons que $2-x\in D_f$

Si $2-x\notin D_f$ alors $2-x=0$ ou $2-x=2$

Donc $x=2$ ou $x=0$ absurde car $x\in D_f$

$$\forall x\in D_f ~~~;~~~2-x\in D_f$$

Montrons que $f(2-x)+f(x)=2\times0$

$$\begin{align*} f(2-x)+f(x)&=\frac{2-x-1}{((2-x)^2-2(2-x))^2}+\frac{x-1}{(x^2-2x)^2} \\ &=\frac{1-x}{(4-4x+x^2-4+2x)^2}+\frac{x-1}{(x^2-2x)^2} \\ &=\frac{1-x}{(x^2-2x)^2}+\frac{x-1}{(x^2-2x)^2}=0 \end{align*}$$

Et par suite le point $\Omega(1;0)$ est le centre de symétrie de la courbe $(C_f)$

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2) Axe de symétrie

Propriété

La droite d'équation $x=a$ est un axe de symétrie de la courbe $(C_g)$ si :

• $\forall x\in D_g ~:~ 2a-x\in D_g$
• $g(2a-x)=g(x)$

Exercice

$g$ est une fonction numérique définie par : $g(x)=\dfrac{1}{x^2-4x+3}$

1. Déterminer $D_g$ le domaine de définition de $g$
2. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $x=2$ est l'axe de symétrie de la courbe $(C_g)$

Correction

1. $D_g=\left\{x\in\R / ~ x^2-4x+3\ne 0\right\}$

Soit $x\in\R$; Si $x^2-4x+3=0$

$$\Delta=b^2-4ac=16-12=4$$ $$x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=3 ~~ ou~~ x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=1$$ $$D_g=\R-\left\{1;3\right\}=]-\infty;1[\cup ]1;3[\cup ]3;+\infty[$$

2. Ici ; $a=2$

Soit $x\in D_g$ Montrons que $2\times2-x\in D_g$

Si $4-x\notin D_g$ alors $4-x=1$ ou $4-x=3$

Donc $x=3$ ou $x=1$ absurde car $x\in D_g$

$$\forall x\in D_g ~~~;~~~4-x\in D_g$$

Soit $x\in D_g$ montrons que $g(4-x)=g(x)$

$$\begin{align*} g(4-x)=&\frac{1}{(4-x)^2-4(4-x)+3} \\ &=\frac{1}{16-8x+x^2-16+4x+3} \\ &=\frac{1}{x^2-4x+3} \\ &=g(x) \end{align*}$$

Donc la droite $(D)$ d'équation $x=2$ est un axe de symétrie de la courbe $(C_g)$