Dérivée de la composée de deux fonctions

Proposition
Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $g$ dérivable en $f(x_0)$ alors :
la fonction $g\circ f$ est dérivable en $x_0$ et on a
$(g\circ f)'(x_0) = f'(x_0)\times g'(f(x_0))$

📝 Démonstration
Supposons que $f$ est dérivable en $x_0$ et $g$ dérivable en $f(x_0)$ :
$f$ est dérivable en $x_0$ alors

$$\implies \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)\in\mathbb{R}$$

$g$ est dérivable en $f(x_0)$

$$\implies\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} = g'(f(x_0))\in\mathbb{R}$$ $$\begin{aligned} \lim_{x \to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0} &= \lim_{x \to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ &= g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0) \end{aligned}$$

Corollaire

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables respectivement sur les intervalles $I$ et $J$ tels que $v(J) \subset I$, alors :
la fonction $u\circ v$ est dérivable sur $J$ et
$\forall x \in J,\quad (u\circ v)'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))$

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Exemple

1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x^2 + x + 1)$
   La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de deux fonctions dérivables :

   • $u(x) = \sin(x)$
   • $v(x) = x^2 + x + 1$

   $f(x) = u \circ v(x)$

   $$\forall x \in \mathbb{R},\quad \left\{ \begin{aligned} u'(x) &= \cos(x) \\ v'(x) &= 2x + 1 \end{aligned} \right.$$ $$\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R},\quad f'(x) &= v'(x) \cdot u'(v(x)) \\ &= (2x + 1) \cos(x^2 + x + 1) \end{aligned}$$

2. Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$
   La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de :

   • $u(x) = \sqrt{x}$
   • $v(x) = x^2 + 1$

   $g(x) = u \circ v(x)$

   $$\forall x \in \mathbb{R},\quad \left\{ \begin{aligned} u'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ v'(x) &= 2x \end{aligned} \right.$$ $$\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R},\quad g'(x) &= v'(x) \cdot u'(v(x)) \\ &= 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \end{aligned}$$

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Résultats utiles

• Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $n \in \mathbb{N}$ alors : $(f^n)' = n f' f^{n-1}$

• Si $f$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ alors : $(\sqrt{f})' = \frac{f'}{2\sqrt{f}}$

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Exercice

Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée :

• $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}$
• $g(x) = (\cos(x) + 1)^3$

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Correction

• $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}$
  Domaine de définition : $D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + x + 1 \ge 0 \}$ On a $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$
  Donc $x^2 + x + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
  Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$

  $$\forall x \in \mathbb{R},\quad f'(x) = \frac{(x^2 + x + 1)'}{2\sqrt{x^2 + x + 1}} = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x + 1}}$$

• $g(x) = (\cos(x) + 1)^3$
  $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de $x \mapsto x^3$ et $x \mapsto \cos(x) + 1$

  $$\begin{aligned} \forall x \in \mathbb{R},\quad g'(x) &= 3 (\cos(x) + 1)^2 \cdot (-\sin(x)) \\ &= -3\sin(x)(\cos(x) + 1)^2 \end{aligned}$$