Exercice 5
Calculer la fonction dérivée de la fonction f f f f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f f f
cas 1 : f ( x ) = 1 3 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1 \quad f(x)=\dfrac13x^3-2x^2+3x+1 f ( x ) = 3 1 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1
cas 2 : f ( x ) = x 3 x − 1 \quad f(x)=\dfrac{x^3}{x-1} f ( x ) = x − 1 x 3
cas 1 : f ( x ) = 1 3 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1 \quad f(x)=\dfrac13x^3-2x^2+3x+1 f ( x ) = 3 1 x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1
La fonction f f f R \R R f f f
On a : ( ∀ x ∈ R ) ; f ′ ( x ) = x 2 − 4 x + 3 (\forall x\in\R)~;~f'(x)=x^2-4x+3 ( ∀ x ∈ R ) ; f ′ ( x ) = x 2 − 4 x + 3
f ′ ( x ) = 0 ⟺ x 2 − 4 x + 3 = 0 f'(x)=0 \iff x^2-4x+3=0 f ′ ( x ) = 0 ⟺ x 2 − 4 x + 3 = 0 Δ = ( − 4 ) 2 − 4 × 1 × 3 = 4 \Delta=(-4)^2-4\times1\times3=4 Δ = ( − 4 ) 2 − 4 × 1 × 3 = 4 x 1 = 4 + 4 2 et x 2 = 4 − 4 2 x_1=\dfrac{4+\sqrt4}{2} ~~\text{et}~~ x_2=\dfrac{4-\sqrt4}{2} x 1 = 2 4 + 4 et x 2 = 2 4 − 4 x 1 = 3 et x 2 = 1 x_1=3 ~~\text{et}~~ x_2=1 x 1 = 3 et x 2 = 1 x − ∞ 1 3 + ∞ f ′ ( x ) + 0 − 0 + \begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & 1 & & 3 & &+\infty \\ \hline
f'(x) & & + & 0 &- & 0 & + & \\ \hline
\end{array} x f ′ ( x ) − ∞ + 1 0 − 3 0 + + ∞ Donc on a :
La fonction f f f ] − ∞ , 1 ] ]-\infty,1] ] − ∞ , 1 ] [ 3 ; + ∞ [ [3;+\infty[ [ 3 ; + ∞ [
La fonction f f f [ 1 , 3 ] [1,3] [ 1 , 3 ]
Tableau de variations de la fonction f f f
lim x → − ∞ f ( x ) = lim x → − ∞ x 3 = − ∞ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty x → − ∞ lim f ( x ) = x → − ∞ lim x 3 = − ∞ f ( 1 ) = 5 3 f(1)=\frac{5}{3} f ( 1 ) = 3 5 f ( 3 ) = 1 f(3)=1 f ( 3 ) = 1 lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ x 3 = + ∞ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim x 3 = + ∞
cas 2 : f ( x ) = x 3 x − 1 \quad f(x)=\dfrac{x^3}{x-1} f ( x ) = x − 1 x 3
La fonction f f f R − { 1 } \R-\{1\} R − { 1 }
Soit x ≠ 1 x\ne1 x = 1 u ( x ) = x 3 u(x)=x^3 u ( x ) = x 3 v ( x ) = x − 1 v(x)=x-1 v ( x ) = x − 1
On a : u ′ ( x ) = 3 x 2 u'(x)=3x^2 u ′ ( x ) = 3 x 2 v ′ ( x ) = 1 v'(x)=1 v ′ ( x ) = 1
f ′ ( x ) = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) ( v ( x ) ) 2 = 3 x 2 ( x − 1 ) − x 3 × 1 ( x − 1 ) 2 = x 2 ( 2 x − 3 ) ( x − 1 ) 2 \begin{align*}
f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \\
&=\dfrac{3x^2(x-1)-x^3\times1}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}
\end{align*} f ′ ( x ) = ( v ( x ) ) 2 u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) = ( x − 1 ) 2 3 x 2 ( x − 1 ) − x 3 × 1 = ( x − 1 ) 2 x 2 ( 2 x − 3 ) On a : ( ∀ x ≠ 1 ) ; x 2 ( x − 1 ) 2 ≥ 0 (\forall x\ne1)~;~\dfrac{x^2}{(x-1)^2} \ge0 ( ∀ x = 1 ) ; ( x − 1 ) 2 x 2 ≥ 0
Donc le signe de f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 2 x − 3 2x-3 2 x − 3
2 x − 3 = 0 ⟺ x = 3 2 2x-3=0\iff x=\frac{3}{2} 2 x − 3 = 0 ⟺ x = 2 3 et donc on a :
La fonction f f f ] − ∞ ; 1 [ ]-\infty;1[ ] − ∞ ; 1 [ ] 1 ; 3 2 ] ]1;\frac{3}{2}] ] 1 ; 2 3 ]
La fonction f f f [ 3 2 ; + ∞ [ [\frac{3}{2};+\infty[ [ 2 3 ; + ∞ [
Tableau de variations de la fonction f f f
lim x → − ∞ f ( x ) = lim x → − ∞ x 3 x = lim x → − ∞ x 2 = + ∞ \begin{align*}
\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)&=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{x^3}{x}\\&=\lim\limits_{x\to-\infty}x^2=+\infty
\end{align*} x → − ∞ lim f ( x ) = x → − ∞ lim x x 3 = x → − ∞ lim x 2 = + ∞
lim x → 1 x < 1 f ( x ) = lim x → 1 x < 1 x 3 x − 1 = − ∞ \lim\limits_{\underset{x<1}{x\to1}}f(x)=\lim\limits_{\underset{x<1}{x\to1}}\frac{x^3}{x-1}=-\infty x < 1 x → 1 lim f ( x ) = x < 1 x → 1 lim x − 1 x 3 = − ∞
lim x → 1 x > 1 f ( x ) = lim x → 1 x > 1 x 3 x − 1 = + ∞ \lim\limits_{\underset{x>1}{x\to1}}f(x)=\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to1}}\frac{x^3}{x-1}=+\infty x > 1 x → 1 lim f ( x ) = x > 1 x → 1 lim x − 1 x 3 = + ∞
f ( 3 2 ) = ( 3 2 ) 3 3 2 − 1 = 27 4 f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{\left(\dfrac32\right)^3}{\dfrac32-1}=\dfrac{27}{4} f ( 2 3 ) = 2 3 − 1 ( 2 3 ) 3 = 4 27
lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ x 3 x = lim x → + ∞ x 2 = + ∞ \begin{align*}
\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)&=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^3}{x}\\&=\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty
\end{align*} x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim x x 3 = x → + ∞ lim x 2 = + ∞