Dérivation

تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Dans chaque cas étudier la dérivabilité de la fonction en $x_0$

$f:x\mapsto |x|$ et $x_0=0$
$g:x\mapsto \left\{\begin{matrix} -x+4 & \text{;} x\le1 \\ \dfrac1x+2& \text{;}x>1 \end{matrix}\right.$ et $x_0=1$

Correction

1/ $\quad$ La dérivabilité à droite en $0$

\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}}\frac{|x|}{x} =\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}}\frac{x}{x}=1

donc $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f'_d(0)=1$

La dérivabilité à gauche en $0$

\begin{align*} \lim\limits_{\underset{x<0}{x\to 0}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} &=\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to 0}}\frac{|x|}{x} =\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to 0}}\frac{-x}{x}\\ &=-1 \end{align*}

donc $f$ est dérivable à gauche en $0$ et $f'_g(0)=-1$

La dérivabilité en $0$

Comme $f'_d(0)\ne f'_g(0)$ , alors $f$ n’est pas dérivable en $0$

On a $g(1)=-1+4=3$

La dérivabilité à droite en $1$

\begin{align*} \lim\limits_{\underset{x>1}{x\to 1}}\frac{g(x)-g(0)}{x-1} &=\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to 1}}\frac{\dfrac1x+2-3}{x-1}\\ &=\lim\limits_{\underset{x>1}{x\to 1}}-\dfrac1x=-1 \end{align*}

donc $g$ est dérivable à droite en $1$ et $g'_d(1)=-1$

La dérivabilité à gauche en $1$

\begin{align*} \lim\limits_{\underset{x<1}{x\to 1}}\frac{g(x)-g(1)}{x-1} &=\lim\limits_{\underset{x<1}{x\to 1}}\frac{-x+4-3}{x-1} \\&=\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to 1}}\frac{-(x-1)}{x-1}=-1 \end{align*}

donc $g$ est dérivable à gauche en $0$ et $g'_g(1)=-1$

La dérivabilité en $1$

Comme $g'_d(1)=g'_g(1)$ , alors $g$ est dérivable en $1$ et $g'(1)=-1$