تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Dérivation

Exercice 4

Calculer la dérivée de ff dans les cas suivants :

f(x)=2x3−3x2+3x−2x+3f(x)=2x^3-3x^2+\dfrac3x-2\sqrt x+3
f(x)=x3+2x−1x2+4f(x)=\dfrac{x^3+2x-1}{x^2+4}
f(x)=x2+x+1f(x)=\sqrt{x^2+x+1}
f(x)=xxf(x)=x\sqrt x
f(x)=sin(2x+3)f(x)=sin(2x+3)
f(x)=cos(−4x+1)f(x)=cos(-4x+1)

cas 1 f(x)=2x3−3x2+3x−2x+3f(x)=2x^3-3x^2+\dfrac3x-2\sqrt x+3

Df={x∈R / x≠0 et x≥0}=[0;+∞[\begin{align*} D_f &=\{x\in\R~/~ x\ne0 \text{ et }x\ge0\}\\ &=[0;+\infty[ \end{align*}
  • La fonction x↦2x3−3x2+3x\mapsto2x^3-3x^2+3 est dérivable sur R\R (Fonction polynome)
  • La fonction x↦xx\mapsto\sqrt x est dérivable sur ]0+∞[]0+\infty[ (Fonction racine carré)
  • La fonction x↦1xx\mapsto\dfrac1x est dérivable sur R∗\R^* (Fonction rationnelle)

Donc la fonction ff est dérivable sur ]0+∞[]0+\infty[

Soit x∈]0+∞[x\in]0+\infty[

f′(x)=2(x3)′−3(x2)′+3(1x)′−2(x)′+3′=2×3x2−3×2x−31x2−2×12x+0=6x2−6x−3x2−xx=6x4−6x3−xx−3x2\begin{align*} f'(x)&=2(x^3)'-3(x^2)'+3\left(\frac{1}{x}\right)'-2(\sqrt{x})'+3' \\ &=2\times3x^2-3\times2x-3\frac1{x^2}-2\times\frac{1}{2\sqrt x}+0 \\ &=6x^2-6x-\frac3{x^2}-\frac{\sqrt x}{x}\\ &=\dfrac{6x^4-6x^3-x\sqrt x-3}{x^2} \end{align*}

cas 2 : f(x)=x3+2x−1x2+4\quad f(x)=\dfrac{x^3+2x-1}{x^2+4}

Df=RD_f=\R car pour tout x∈Rx\in\R on a x2+4≠0x^2+4\ne0

La fonction ff est dérivable sur R\R comme fonction rationnelle

Soit x∈Rx\in\R, si on pose u(x)=x3+2x−1u(x)=x^3+2x-1 et v(x)=x2+4v(x)=x^2+4

On a : u′(x)=3x2+2u'(x)=3x^2+2 et v′(x)=2xv'(x)=2x

f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)(v(x))2=(3x2+2)(x2+4)−(x3+2x−1)(2x)(x2+4)2=x4+10x2+2x+8(x2+4)2\begin{align*} f'(x)&=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \\ &=\dfrac{(3x^2+2)(x^2+4)-(x^3+2x-1)(2x)}{(x^2+4)^2} \\ &=\dfrac{x^4+10x^2+2x+8}{(x^2+4)^2} \end{align*}

cas 3 : f(x)=x2+x+1\quad f(x)=\sqrt{x^2+x+1}

On a x2+x+1>0x^2+x+1>0 pour tout x∈Rx\in\R car Δ=−3<0\Delta=-3<0 et a=1>0a=1>0

et la fonction x↦x2+x+1x\mapsto x^2+x+1 est dérivable sur R\R (fonction polynome)

Soit x∈Rx\in\R on a : f′=(u)′=u′uf'=(\sqrt u)'=u'\sqrt u avec u(x)=x2+x+1u(x)=x^2+x+1

on a u′(x)=2x+1u'(x)=2x+1 donc :

f′(x)=(2x+1)x2+x+1f'(x)=(2x+1)\sqrt{x^2+x+1}

cas 4 : f(x)=xx\quad f(x)=x\sqrt x

La fonction ff est dérivable sur ]0+∞[]0+\infty[

Soit x∈]0+∞[x\in]0+\infty[

posons u(x)=xu(x)=x et v(x)=xv(x)=\sqrt x,

on a : u′(x)=1u'(x)=1 et v′(x)=12xv'(x)=\frac1{2\sqrt x}

f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=x+x12x=32x\begin{align*} f'(x) &=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\ &=\sqrt x +x\frac{1}{2\sqrt x}\\ &=\frac{3}{2}\sqrt x \end{align*}

cas 5 : f(x)=sin(2x+3)\quad f(x)=sin(2x+3)

la fonction est dérivable sur R\R

car les fonctions x↦3x+3x\mapsto 3x+3 et x↦sin⁡xx\mapsto \sin x sont dérivable sur R\R

pour tout x∈Rx\in\R :

f′(x)=sin′(2x+3)=(2x+3)′cos(2x+3)=2cos(2x+3)\begin{align*} f'(x) &=sin'(2x+3) \\ &=(2x+3)'cos(2x+3) \\ &=2cos(2x+3) \end{align*}

cas 6 : f(x)=cos(−4x+1)\quad f(x)=cos(-4x+1)

la fonction est dérivable sur R\R

car les fonctions x↦−4x+1x\mapsto -4x+1 et x↦cos⁡xx\mapsto \cos x sont dérivable sur R\R

pour tout x∈Rx\in\R :

f′(x)=cos′(−4x+1)=−(−4x+1)′sin(−4x+1)=−4sin(−4x+1)\begin{align*} f'(x) &=cos'(-4x+1) \\ &=-(-4x+1)'sin(-4x+1) \\ &=-4sin(-4x+1) \end{align*}