📝 Exercices de la série▼
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Exercice 6

  1. Montrer que : 3cos x+sin x=2cos(x−π6)\sqrt3cos~x+sin~x=2cos\left(x-\dfrac\pi6\right)
  2. Montrer que : cos x−sin x=2cos(x+π6)cos~x-sin~x=2cos\left(x+\dfrac\pi6\right)
  3. Résoudre dans ]−π;π]]-\pi;\pi] l'équation : (E)  :3cos x+sin x=1(E)~~:\sqrt3cos~x+sin~x=1
  4. Résoudre dans ]−π;π]]-\pi;\pi] l'inéquation : (F)  :3cos x−sin x≥1(F)~~:\sqrt3cos~x-sin~x\ge1

Propriété :

acos(x)+bsin(x)=a2+b2cos(x−α)  acos(x)+bsin(x)=\sqrt{a^2+b^2}cos(x-\alpha)~~ ouˋ  cos(α)=aa2+b2  et  sin(α)=ba2+b2\text{où}~~ cos(\alpha)=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} ~~ et~~ sin(\alpha)=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

  1. Transformon de : 3cos x+sin x\sqrt3cos~x+sin~x

    on a ici : a=3a=\sqrt3 et b=1b=1

    donc : 32+12=2\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=2

    et donc on a :

    3cos x+sin x=2(32cos x+12sin x)=2(cos π6cos x+sin π6sin x)=2cos(x−π6)\begin{align*} \sqrt3cos~x+sin~x&=2\left(\dfrac{\sqrt3}2cos~x+\dfrac12sin~x\right) \\ &=2\left(cos~\dfrac\pi6cos~x+sin~\dfrac\pi6sin~x\right)\\ &=2cos\left(x-\dfrac\pi6\right) \end{align*}

  2. Transformon de : cos x−sin xcos~x-sin~x

    on a ici : a=1a=1 et b=−1b=-1

    donc : 12+(−1)2=2\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2

    et donc on a :

    cos x−sin x=2(12cos x−12sin x)=2(22cos x−22sin x)=2(cos π4cos x−sin π4sin x)=2cos(x+π6)\begin{align*} cos~x-sin~x&=\sqrt2\left(\dfrac1{\sqrt2}cos~x-\dfrac1{\sqrt2}sin~x\right) \\ &=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}2cos~x-\dfrac{\sqrt2}2sin~x\right) \\ &=2\left(cos~\dfrac\pi4cos~x-sin~\dfrac\pi4sin~x\right)\\ &=2cos\left(x+\dfrac\pi6\right) \end{align*}

  3. Dans les équivalentes suivantes k∈Zk\in\Z

3cos x+sin x=1  ⟺  2cos(x−π6)=1  ⟺  cos(x−π6)=cos π3  ⟺  x−π6=π3+2kπ  oux−π6=−π3+2kπ  ⟺  x=π3+π6+2kπ  ou   x=−π3+π6+2kπ  ⟺  x=π2+2kπ  ou   x=π6+2kπ\begin{align*} &\sqrt3cos~x+sin~x=1 \\ &\iff 2cos\left(x-\dfrac\pi6\right)=1\\ &\iff cos\left(x-\dfrac\pi6\right)=cos~\dfrac\pi3 \\ &\iff x-\dfrac\pi6=\dfrac\pi3+2k\pi~~ou x-\dfrac\pi6=-\dfrac\pi3+2k\pi \\ &\iff x=\dfrac\pi3+\dfrac\pi6+2k\pi~~ou~~~ x=-\dfrac\pi3+\dfrac\pi6+2k\pi \\ &\iff x=\dfrac\pi{2}+2k\pi~~ou~~~ x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \end{align*}

Comme x∈]−π;π], alors : x\in]-\pi;\pi]\text{, alors : }

−π≤π2+2kπ≤π  ⟺  −1≤12+2k≤1  ⟺  −32≤2k≤12  ⟺  −34≤k≤14  ⟺  k=0    car  k∈Z\begin{align*} -\pi\le\dfrac\pi{2}+2k\pi\le\pi &\iff -1\le\dfrac1{2}+2k\le1 \\ &\iff -\dfrac32\le2k\le\dfrac12 \\ &\iff -\dfrac34\le k\le\dfrac14 \\ & \iff k=0~~~~car ~~ k\in\Z \end{align*}

Donc x=π2x=\frac{\pi}{2}

−π≤π6+2kπ≤π  ⟺  −1≤16+2k≤1  ⟺  −76≤2k≤56  ⟺  −712≤k≤512  ⟺  k=0    car  k∈ZDonc     x=π6\begin{align*} -\pi\le\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\le\pi &\iff -1\le\dfrac1{6}+2k\le1 \\ &\iff -\dfrac76\le2k\le\dfrac56 \\ &\iff -\dfrac7{12}\le k\le\dfrac5{12} \\ & \iff k=0~~~~car ~~ k\in\Z \\ \text{Donc ~~~}~x=\frac{\pi}{6} \end{align*}

D'où l'ensemble des solutions de l'équation (E)(E) est :

S={π2;π6}S=\left\{\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right\}
3cos x−sin x=2cos (x+π6)\begin{align*} \sqrt3cos~x-sin~x=2cos~\left(x+\frac\pi6\right) \end{align*} (F)   ⟺  2cos (x+π6)−1≥0\begin{align*} (F)~\iff 2cos~\left(x+\frac\pi6\right)-1\ge0 \end{align*}

On pose : X=x+π6X=x+\frac\pi6 donc cos(X)≥12cos(X)\ge\frac12 et X∈[−5π6;7π6]X\in\left[\frac{-5\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\right]

²²²¼37¼6;5¼-6
cos(X)≥12  ⟺  −π3≤X≤π3  ⟺  −π3≤x+π6≤π3  ⟺  −π2≤x≤π6\begin{align*} cos(X)\ge\frac12 &\iff -\frac\pi3\le X \le \frac\pi3 \\ &\iff -\frac\pi3\le x+\frac\pi6 \le \frac\pi3 \\ &\iff -\frac\pi2\le x \le \frac\pi6 \end{align*}

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation (F)(F) est :

S=[−π2; π6]S=\left[-\frac\pi2;~\frac\pi6\right]