📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6

Exercice 5

Transformer les expressions suivantes en forme de somme

  • A(x)=cos(x)cos(5x)A(x)=cos(x)cos(5x)
  • B(x)=sin(3x)sin(4x)B(x)=sin(3x)sin(4x)
  • C(x)=cos(x+π3)sin(x−π3)C(x)=cos\left(x+\dfrac\pi3\right)sin\left(x-\dfrac\pi3\right)

Propriété :

  • cos a.cos b=12[cos(a+b)+cos(a−b)]cos~a.cos~b=\dfrac12[cos(a+b)+cos(a-b)]
  • sin a.sin b=−12[cos(a+b)−cos(a−b)]sin~a.sin~b=-\dfrac12[cos(a+b)-cos(a-b)]
  • sin a.cos b=12[sin(a+b)+sin(a−b)]sin~a.cos~b=\dfrac12[sin(a+b)+sin(a-b)]
A(x)=cos(x)cos(5x)=12(cos(x+5x)+cos(x−5x))=12cos(6x)+12cos(4x)\begin{align*} A(x) &=cos(x)cos(5x)\\ &=\dfrac12\left(cos(x+5x)+cos(x-5x)\right)\\ &=\dfrac12cos(6x)+\dfrac12cos(4x) \end{align*} B(x)=sin(3x)sin(4x)=−12(cos(x+4x)−cos(x−4x))=−12cos(5x)+12cos(3x)\begin{align*} B(x)&=sin(3x)sin(4x)\\ &=-\dfrac12\left(cos(x+4x)-cos(x-4x)\right)\\ &=-\dfrac12cos(5x)+\dfrac12cos(3x) \end{align*} C(x)=cos(x+π3)sin(x−π3)=12[sin(x+π3+x−π3)+sin(x+π3−x+π3)]=12sin(2x)+12sin(2π3)\begin{align*} &C(x) \\ &=cos\left(x+\dfrac\pi3\right)sin\left(x-\dfrac\pi3\right)\\ &=\dfrac12\left[sin\left(x+\dfrac\pi3+x-\dfrac\pi3\right)+sin\left(x+\dfrac\pi3-x+\dfrac\pi3\right)\right]\\ &=\dfrac12sin(2x)+\dfrac12sin\left(\dfrac{2\pi}3\right) \end{align*}