Propriété :

• $cos^2(a)=\dfrac{1+cos(2a)}{2}$
• $sin^2(a)=\dfrac{1-cos(2a)}{2}$

---

$$\begin{align*} \cos^2\dfrac\pi8 &=\dfrac{1+\cos\left(2\times\dfrac\pi8\right)}{2} \\ &=\dfrac{1+\cos\dfrac\pi4}{2} \\ &=\dfrac{2+\sqrt2}{4} \end{align*}$$

et comme : $\cos\dfrac\pi8>0$ car $\dfrac\pi8\in\left]0,\dfrac\pi2\right[$,

alors :

$\cos\dfrac\pi8=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$

$$\begin{align*} \sin^2\dfrac\pi8 &=\dfrac{1-\sin\left(2\times\dfrac\pi8\right)}{2}\\ &=\dfrac{1-\cos\dfrac\pi4}{2}\\ &=\dfrac{2-\sqrt2}{4} \end{align*}$$

et comme : $\sin\dfrac\pi8>0$ car $\dfrac\pi8\in\left]0,\dfrac\pi2\right[$,

alors :

$\sin\dfrac\pi8=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$

• $\tan\dfrac\pi8=\dfrac{\sin\dfrac\pi8}{\cos\dfrac\pi8}=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}=2-\sqrt2$

2. Soit $x\in\R$ :

$$\begin{align*} 1+\sin(x)&=1+\sin\left(2\times \dfrac x2\right)\\ &=1+2\sin\dfrac x2cos\dfrac x2\\ &=\cos^2\dfrac x2+sin^2\dfrac x2+2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2\\ &=\left(\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}\right)^2 \end{align*}$$