Calcul trigonométrique | نون الرياضيات

تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul trigonométrique

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Exercice 4

Transformer les expressions suivantes en forme de produit :

$A(x)=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)$
$B(x)=1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)$

Correction

Propriété :

$cos~p+cos~q=2cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
$cos~p-cos~q=-2sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
$sin~p+sin~q=2sin\left(\frac{p+q}{2}\right)cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$
$sin~p-sin~q=2sin\left(\frac{p-q}{2}\right)cos\left(\frac{p+q}{2}\right)$

\begin{align*} A(x)&=sin(x)+sin(2x)+sin(3x) \\ &=sin(x)+sin(3x)+sin(2x) \\ &=2sin\left(\dfrac{x+3x}{2}\right)cos\left(\dfrac{x-3x}{2}\right)+sin(2x) \\ &=2sin(2x)cos(x)+2sin(x)cos(x) \\ &=2cos(x)(sin(2x)+sin(x)) \\ &=2cos(x)\left[2sin\left(\dfrac{2x+x}{2}\right)cos\left(\dfrac{2x-x}{2}\right)\right] \\ &=4cos(x)sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \end{align*}

\begin{align*} B(x)&=1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x) \\ &=1+cos(2x)+2cos\left(\dfrac{x+3x}{2}\right)cos\left(\dfrac{x-3x}{2}\right) \\ &=2cos^2(x)+2cos\left(2x\right)cos\left(x\right) \\ &=2cos(x)\left(cos(x)+cos(2x)\right) \\ &=2cos(x)2cos\left(\dfrac{x+2x}{2}\right)cos\left(\dfrac{x-2x}{2}\right)\\ &=4cos(x).cos\left(\dfrac{x}{2}\right).cos\left(\dfrac{3x}{2}\right) \end{align*}