تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul trigonométrique

Exercice 2

  1. Calculer cos(π8)cos\left(\dfrac\pi8\right), sin(π8)sin\left(\dfrac\pi8\right) et tan(π8)tan\left(\dfrac\pi8\right)
  2. Montrer que : 1+sin(x)=(cos⁡(x2)+sin⁡(x2))21+sin(x)=\left( \cos\left(\dfrac x2\right) + \sin\left(\dfrac x2\right)\right)^2

Propriété :

  • cos2(a)=1+cos(2a)2cos^2(a)=\dfrac{1+cos(2a)}{2}
  • sin2(a)=1−cos(2a)2sin^2(a)=\dfrac{1-cos(2a)}{2}
cos⁡2π8=1+cos⁡(2×π8)2=1+cos⁡π42=2+24\begin{align*} \cos^2\dfrac\pi8 &=\dfrac{1+\cos\left(2\times\dfrac\pi8\right)}{2} \\ &=\dfrac{1+\cos\dfrac\pi4}{2} \\ &=\dfrac{2+\sqrt2}{4} \end{align*}

et comme : cos⁡π8>0\cos\dfrac\pi8>0 car π8∈]0,π2[\dfrac\pi8\in\left]0,\dfrac\pi2\right[,

alors :

cos⁡π8=2+24=2+22\cos\dfrac\pi8=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}

sin⁡2π8=1−sin⁡(2×π8)2=1−cos⁡π42=2−24\begin{align*} \sin^2\dfrac\pi8 &=\dfrac{1-\sin\left(2\times\dfrac\pi8\right)}{2}\\ &=\dfrac{1-\cos\dfrac\pi4}{2}\\ &=\dfrac{2-\sqrt2}{4} \end{align*}

et comme : sin⁡π8>0\sin\dfrac\pi8>0 car π8∈]0,π2[\dfrac\pi8\in\left]0,\dfrac\pi2\right[,

alors :

sin⁡π8=2−24=2−22\sin\dfrac\pi8=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}

  • tan⁡π8=sin⁡π8cos⁡π8=2−22+2=2−2\tan\dfrac\pi8=\dfrac{\sin\dfrac\pi8}{\cos\dfrac\pi8}=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}=2-\sqrt2
  1. Soit x∈Rx\in\R :
1+sin⁡(x)=1+sin⁡(2×x2)=1+2sin⁡x2cosx2=cos⁡2x2+sin2x2+2sin⁡x2cos⁡x2=(sin⁡x2+cos⁡x2)2\begin{align*} 1+\sin(x)&=1+\sin\left(2\times \dfrac x2\right)\\ &=1+2\sin\dfrac x2cos\dfrac x2\\ &=\cos^2\dfrac x2+sin^2\dfrac x2+2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2\\ &=\left(\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}\right)^2 \end{align*}