Exercice 9 (Devoir)
On considère dans le plan le cercle ( C ) (C) ( C ) x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 x^2+y^2-4x-2y=0 x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 ( D ) (D) ( D ) A ( 5 , 0 ) A(5,0) A ( 5 , 0 ) n ⃗ ( 2 , 1 ) \vec{n}(2,1) n ( 2 , 1 )
Vérifie que H ( 4 , 2 ) ∈ ( C ) H(4,2)\in(C) H ( 4 , 2 ) ∈ ( C )
Vérifie que 2 x + y − 10 = 0 2x+y-10=0 2 x + y − 10 = 0 ( D ) (D) ( D )
Montrer que le cercle ( C ) (C) ( C ) Ω ( 2 , 1 ) \Omega(2,1) Ω ( 2 , 1 ) r = 5 r=\sqrt{5} r = 5
Calculer d ( Ω , ( D ) ) d(\Omega,(D)) d ( Ω , ( D )) Ω \Omega Ω ( D ) (D) ( D )
En déduire la position relative de la droite ( D ) (D) ( D ) ( C ) (C) ( C )
Vérifie que H ∈ ( D ) H\in(D) H ∈ ( D )
Correction
On a : 4 2 + 2 2 − 4 × 4 − 2 × 2 = 16 + 4 − 16 − 4 = 0 4^2+2^2-4\times4-2\times2=16+4-16-4=0 4 2 + 2 2 − 4 × 4 − 2 × 2 = 16 + 4 − 16 − 4 = 0 H ( 4 , 2 ) ∈ ( C ) H(4,2)\in(C) H ( 4 , 2 ) ∈ ( C )
M ( x , y ) ∈ ( D ) ⟺ A M → . n ⃗ = 0 ⟺ ( x − 5 y ) . ( 2 1 ) = 0 ⟺ 2 ( x − 5 ) + y = 0 ⟺ 2 x + y − 10 = 0 \begin{align*}
M(x,y)\in(D) &\iff \overrightarrow{AM}.\vec{n}=0\\
&\iff \begin{pmatrix}
x-5 \\y
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
2\\1
\end{pmatrix}=0\\
&\iff 2(x-5)+y=0 \\
&\iff 2x+y-10=0
\end{align*} M ( x , y ) ∈ ( D ) ⟺ A M . n = 0 ⟺ ( x − 5 y ) . ( 2 1 ) = 0 ⟺ 2 ( x − 5 ) + y = 0 ⟺ 2 x + y − 10 = 0 Donc 2 x + y − 10 = 0 2x+y-10=0 2 x + y − 10 = 0 ( D ) (D) ( D )
M ( x , y ) ∈ ( C ) ⟺ x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 ⟺ x 2 − 4 x + 2 2 + y 2 − 2 y + 1 2 = 2 2 + 1 2 ⟺ ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 5 2 \begin{align*}
&M(x,y)\in(C)\\
&\iff x^2+y^2-4x-2y=0 \\
& \iff x^2-4x+2^2+y^2-2y+1^2=2^2+1^2 \\
& \iff (x-2)^2+(y-1)^2=\sqrt5^2
\end{align*} M ( x , y ) ∈ ( C ) ⟺ x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 ⟺ x 2 − 4 x + 2 2 + y 2 − 2 y + 1 2 = 2 2 + 1 2 ⟺ ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 5 2 Donc le cercle ( C ) (C) ( C ) Ω ( 2 , 1 ) \Omega(2,1) Ω ( 2 , 1 ) r = 5 r=\sqrt{5} r = 5
Calculer d ( Ω , ( D ) ) d(\Omega,(D)) d ( Ω , ( D )) Ω \Omega Ω ( D ) (D) ( D )
d ( Ω , ( D ) ) = ∣ a x ω + b y Ω + c ∣ a + b 2 = ∣ 2 × 2 + 1 − 10 ∣ 2 2 + 1 2 = 5 5 = 5 5 5 = 5 \begin{align*}
d(\Omega,(D)) &=\dfrac{|ax_\omega+by_\Omega+c|}{\sqrt{a^+b^2}} \\
&=\dfrac{|2\times2+1-10|}{\sqrt{2^2+1^2}} \\
&=\dfrac{5}{\sqrt5} \\
&=\dfrac{5\sqrt5}{5} \\
&=\sqrt5
\end{align*} d ( Ω , ( D )) = a + b 2 ∣ a x ω + b y Ω + c ∣ = 2 2 + 1 2 ∣2 × 2 + 1 − 10∣ = 5 5 = 5 5 5 = 5
On a : d ( Ω , ( D ) ) = r d(\Omega,(D))=r d ( Ω , ( D )) = r ( D ) (D) ( D ) ( C ) (C) ( C )
une équation de ( D ) (D) ( D ) 2 x + y − 10 = 0 2x+y-10=0 2 x + y − 10 = 0
pour H ( 4 , 2 ) H(4,2) H ( 4 , 2 ) 2 × 4 + 2 − 10 = 0 2\times4+2-10=0 2 × 4 + 2 − 10 = 0
donc H ∈ ( D ) H\in(D) H ∈ ( D )
et comme H ∈ ( C ) H\in(C) H ∈ ( C ) ( D ) (D) ( D ) ( C ) (C) ( C ) H H H