📝 Exercices de la série▼
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Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

u⃗(x,y)\vec{u}(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec{v}(x',y') et on pose θ≡(u⃗,v⃗‾) [2π]\theta\equiv(\overline{\vec{u},\vec{v}})~[2\pi]

  1. Montrer que u⃗.v⃗=xx′+yy′\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'
  2. En déduire que cos⁡θ=xx′+yy′(x2+y2)(x′2+y′2)\cos\theta=\dfrac{xx'+yy'}{\sqrt{(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)}}

  1. On a : u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} et v⃗=x′i⃗+y′j⃗\vec{v}=x'\vec{i}+y'\vec{j}

    u⃗.v⃗=(xi⃗+yj⃗)(x′i⃗+y′j⃗)=xx′.i⃗2+xy′i⃗.j⃗+yx′i⃗.j⃗+yy′j⃗2\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=(x\vec{i}+y\vec{j})(x'\vec{i}+y'\vec{j}) \\ &=xx'.\vec{i}^2+xy'\vec{i}.\vec{j}+yx'\vec{i}.\vec{j}+yy'\vec{j}^2 \end{align*}

    On a (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) est un repère orthonormé donc i⃗.j⃗=0\vec{i}.\vec{j}=0, ∣∣i⃗∣∣=1||\vec{i}||=1 et ∣∣j⃗∣∣=1||\vec{j}||=1

    et on a : i⃗2=∣∣i⃗∣∣2=1\vec{i}^2=||\vec{i}||^2=1 et j⃗2=∣∣j⃗∣∣2=1\vec{j}^2=||\vec{j}||^2=1

    et donc : u⃗.v⃗=xx′+yy′\boxed{\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'}

  2. On sait que : u⃗.v⃗=∣∣u⃗∣∣.∣∣v⃗∣∣cos(θ)\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||cos(\theta)

    et ∣∣u⃗∣∣=x2+y2||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2} et ∣∣v⃗∣∣=x′2+y′2||\vec{v}||=\sqrt{x'^2+y'^2}

    Alors : cos⁡θ=xx′+yy′(x2+y2)(x′2+y′2)\cos\theta=\dfrac{xx'+yy'}{\sqrt{(x^2+y^2)(x'^2+y'^2)}}