on a $w_{n+1}=\frac{3w_n+2}{w_n+4}$ et $w_2=\frac43$

Pour $n=1$ on a :

• pour $n=1$ on a $w_1=2$ et $1<w_1<3$

La proposition est vraie pour $n=1$

• Soit $n\in\N^*$, supposons que $1<w_n<3$

et montrons que $2<w_{n+1}<3$

on a :

D’apres la question précédente on a $1<w_n<3$

Donc : $w_n+4>0$ et $w_n>1 \implies -2w_n<-2\implies -2w_n+2<0$

donc : $1-w_{n+1}<0$ et $3-w_{n+1}>0$

Donc : $1<w_{n+1}<3$

• D’aprés le raisonnement par récurrence : $(\forall n\in\N^*)~:~1<w_{n}<3$

Soit $n\in\N^*$, on a :

D’aprés la question B.2. on a :~~ $1<w_n<3$

Donc $w_n-1>0$ et $w_n+2>0$ et $w_n+4>0$

Donc $w_{n+1}-w_n<0$, et donc la suite $(w_n)_{n\ge1}$ est décroissante.

$v_n=\dfrac{w_n-1}{w_n+2}$

(a)

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac25$ et de premier terme $v_1=\frac{w_1-1}{w_1+2}=\dfrac14$

(b) soit $n\in\N^*$, on a :

et on a :

(c)