تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Géométrie dans l'espace

Exercice 2 — [BAC 2019 S.O]

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}), on considère les points A(1,−1,−1)A(1,-1,-1), B(0,−2,1)B(0,-2,1) et C(1,−2,0)C(1,-2,0)

  1. a. Montrer que AB→∧AC→=i⃗+j⃗+k⃗\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}
    b. En déduire que x+y+z+1=0x + y + z + 1 = 0 est une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC)
  2. Soit (S)(S) la sphère d’équation x2+y2+z2−4x+2y−2z+1=0x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 2z + 1 = 0
    Montrer que le centre de la sphère (S)(S) est Ω(2;−1;1)\Omega(2;-1;1) et que son rayon est R=5R = \sqrt{5}
  3. a. Calculer d(Ω,(ABC))d(\Omega, (ABC)), la distance du point Ω\Omega au plan (ABC)(ABC)
    b. En déduire que le plan (ABC)(ABC) coupe la sphère (S)(S) selon un cercle (Γ)(\Gamma)

On considère les points :

A(1,−1,−1), B(0,−2,1),  et  C(1,−2,0)A(1,-1,-1),~ B(0,-2,1), ~~\text{et} ~~ C(1,-2,0)

1/a/ AB→∧AC→\quad\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} ?

On a :

  • AB→=(−1−12)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
  • AC→=(0−11)\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
AB→∧AC→=∣i⃗j⃗k⃗−1−120−11∣=(−1+2)i⃗−(−1−0)j⃗+(1−0)k⃗=i⃗+j⃗+k⃗\begin{align*} \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} \\&= ( -1 + 2 )\vec{i} - ( -1 - 0 )\vec{j} + (1 - 0)\vec{k} \\&= \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} \end{align*}
AB→∧AC→=i⃗+j⃗+k⃗\boxed{\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}}

b/ Équation cartésienne du plan (ABC)(ABC)

Puisque AB→∧AC→\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC), une équation du plan est de la forme :

x+y+z+d=0x + y + z + d = 0

On utilise le point A(1,−1,−1)A(1,-1,-1) pour trouver dd :

1+(−1)+(−1)+d=0⇒d=11 + (-1) + (-1) + d = 0 \Rightarrow d = 1
(ABC):x+y+z+1=0\boxed{(ABC) : x + y + z + 1 = 0}

2/

On considère l’équation :

x2+y2+z2−4x+2y−2z+1=0x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 2z + 1 = 0

Complétons les carrés :

(x2−4x)+(y2+2y)+(z2−2z)+1=0(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + (z^2 - 2z) + 1 = 0
=(x−2)2−4+(y+1)2−1+(z−1)2−1+1=0= (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 1)^2 - 1 + 1 = 0
⇒(x−2)2+(y+1)2+(z−1)2=5\Rightarrow (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 5

Donc la sphère (S)(S) a pour centre :

Ω(2,−1,1)et rayonR=5\boxed{\Omega(2, -1, 1)} \quad \text{et rayon} \quad \boxed{R = \sqrt{5}}

3/a/ \quad Distance de Ω\Omega au plan (ABC)(ABC)

On utilise la formule :

d(Ω,(ABC))=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(\Omega, (ABC)) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Avec :

  • a=b=c=1a = b = c = 1, d=1d = 1
  • Ω(2,−1,1)\Omega(2, -1, 1)
d(Ω,(ABC))=∣2−1+1+1∣3=33d(\Omega, (ABC)) = \frac{|2 - 1 + 1 + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}
d(Ω,(ABC))=3\boxed{d(\Omega, (ABC)) = \sqrt{3}}

b/

On a :

  • d(Ω,(ABC))=3d(\Omega, (ABC)) = \sqrt{3}
  • R=5R = \sqrt{5}

Donc :

d(Ω,(ABC))<R\boxed{d(\Omega, (ABC)) < R}

Conclusion

Puisque la distance du centre Ω\Omega au plan (ABC)(ABC) est strictement inférieure au rayon de la sphère, on en déduit que :

Le plan (ABC)(ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (Γ)(\Gamma)