1/a/ $\quad\Omega(1;1;1)$ ;; $R=2$ ?

b/ $\quad d(\Omega,(P))=?

On a : $(P)$ : $y-z=0$ et $\Omega(1;1;1)$ et $R=2$

donc :

On a $d(\Omega,(P))<R$, donc le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle $(C)$.

c/ Le centre et le rayon de $(C)$ ?

Puisque $d(\Omega,(P))=0$ alors le plan $(P)$ coupe la sphère $(C)$ selon un grand cercle $(C)$ de centre $\Omega(1,1,1)$ et de rayon $R=2$

2/

($\Delta$) la droite passant par $A(1;-2;2)$ et $\perp$ à (P)

a/ $\quad\vec{u}(0,1,-1)$ est un vecteur directeur de ($\Delta$) ?

On a : $(P)~:~y-z=0$, alors $\vec{u}(0,1,-1)$ est un vecteur normal à $(P)$ et comme $(\Delta) \perp (P)$, alors $\vec{u}(0,1,-1)$ est un vecteur directeur de ($\Delta$)

b/ $\quad||\overrightarrow{\Omega A}\land\vec{u}||=\sqrt2||\vec{u}||$ ?

On a : $\vec{u}(0,1,-1)$ ;; $\Omega(1;1;1)$ et $A(1;-2;2)$

Donc

Donc :

• $||\overrightarrow{\Omega A}\land\vec{u}||=\sqrt{2^2+0^2+0^2}=2$
• $||\vec{u}||=\sqrt{(0)^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

Donc : $\sqrt2||\vec{u}||=\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$

Alors : $||\overrightarrow{\Omega A}\land\vec{u}||=\sqrt2||\vec{u}||$

la droite ($\Delta$) coupe la sphère (S) en deux points ?

On a

et on a $R=2$, donc $d(\Omega,(\Delta))<R$

Alors la droite ($\Delta$) coupe la sphère (S) en deux points

c/$\quad$ Les coordonnées d’intersection de ($\Delta$) et (S) ?

On a : $\vec{u}(0,1,-1)$ est un vecteur directeur de ($\Delta$) et $A(1;-2;2)\in(\Delta)$ Alors :

$(x,y,z)$ les coordonnées des points d’intersection de $(\Delta)$ et $(S)$ vérifient :

En remplacant $(1)$, $(2)$ et $(3)$ dans $(4)$

En remplacant $t_1$ et $t_2$ dans (1) , (2) et (3) on a

Alors les points $E(1,-1,1)$ et $F(1,1,-1)$ sont les points d’intersection de la droite $(\Delta)$ et la sphère $(S)$