Voici la fiche pédagogique complète, conçue selon les normes de l'inspection pédagogique marocaine pour la classe de 2ème Année Baccalauréat (Séries : Physique-Chimie PC et Sciences de la Vie et de la Terre SVT).

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FICHE PÉDAGOGIQUE : SUITES NUMÉRIQUES (LIMITES ET CONVERGENCE)

Matière : Mathématiques
Niveau : 2ème Année du Baccalauréat (PC / SVT)
Matière prérequise : Étude des fonctions numériques, continuité, limites de fonctions, suites arithmétiques et géométriques (1ère Bac).
Volume horaire total : 15 Heures (Découpage sur 3 semaines à raison de 5h/semaine)

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1. PLANIFICATION ET RÉPARTITION HORAIRE (15 HEURES)

Semaine	Séance	Contenu détaillé	Durée
Semaine 1	Séance 1	Limites des suites de référence ($n^p$, $\sqrt{n}$, $1/n^p$, $1/\sqrt{n}$). Notion de suite convergente/divergente.	2h
	Séance 2	Limites de la suite géométrique ($q^n$) et de la suite ($n^\alpha$, $\alpha \in \mathbb{Q}^*$). Opérations sur les limites.	2h
	Séance 3	Applications directes : Calculs de limites et formes indéterminées.	1h
Semaine 2	Séance 4	Limites et ordre. Théorèmes de comparaison (Majorations, minoration, Théorème des gendarmes).	2h
	Séance 5	Critères de convergence : Suite croissante majorée, suite décroissante minorée.	2h
	Séance 6	Exercices d'application sur les théorèmes de comparaison et la monotonie.	1h
Semaine 3	Séance 7	Image d'une suite par une fonction continue : $v_n = f(u_n)$. Limite de $u_{n+1} = f(u_n)$ et équation $f(x) = x$.	2h
	Séance 8	Étude des suites récurrentes spécifiques : $u_{n+1} = a u_n + b$ et $u_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d}$.	2h
	Séance 9	Exercices de synthèse (Préparation à l'Examen National).	1h

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2. OBJECTIFS ET CAPACITÉS ATTENDUES

• Utiliser les limites des suites de référence et les théorèmes de comparaison pour déterminer la limite d'une suite numérique.
• Utiliser les suites arithmétiques et géométriques dans l'étude de suites récurrentes de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$ et $u_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d}$.
• Déterminer la limite d'une suite convergente $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue sur $I$ et $f(I) \subset I$.
• Modéliser et résoudre des problèmes issus d'autres domaines (biologie, physique, économie) à l'aide des suites numériques.

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3. CONTENU DU COURS DÉTAILLÉ

I. Limites de suites de référence et Définitions de base

1. Définition intuitive de la limite d'une suite

Orientation Pédagogique : Toute étude théorique (utilisation des $\varepsilon$ et $N$) de la notion de limite d'une suite est strictement hors programme. Une suite étant une fonction définie sur $\mathbb{N}$, la notion de limite s'entend uniquement lorsque $n \to +\infty$.

• Définition 1 (Suite convergente) : On dit qu'une suite $(u_n)$ est convergente si elle admet une limite finie $l \in \mathbb{R}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. On écrit : $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$
• Définition 2 (Suite divergente) : Une suite est dite divergente si elle n'est pas convergente (c'est-à-dire sa limite est $+\infty$, $-\infty$, ou elle n'admet pas de limite).

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2. Limites des suites de référence

Orientation Pédagogique : On admet, à partir des limites de fonctions de référence vues auparavant, les limites usuelle lorsque $n \to +\infty$.

• Propriété 1 (Limites infinies usuellement admises) : $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$ De manière générale, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty$.

• Propriété 2 (Limites nulles usuellement admises) : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0 \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ De manière générale, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0$.

• Démonstration : [Admis] (Justifié par le lien avec la limite des fonctions $f(x)$ quand $x \to +\infty$).

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3. Limite de la suite géométrique $(q^n)$ et de la suite $(n^\alpha)$

• Théorème 1 (Limite de $q^n$ où $q \in \mathbb{R}$) :

  • Si $q > 1$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
  • Si $q = 1$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
  • Si $-1 < q < 1$ (soit $|q| < 1$), alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
  • Si $q \le -1$, la suite $(q^n)$ n'admet pas de limite.

• Théorème 2 (Limite de $n^\alpha$ avec $\alpha \in \mathbb{Q}^*$) :

  • Si $\alpha > 0$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^\alpha = +\infty$.
  • Si $\alpha < 0$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^\alpha = 0$.

• Exemple résolu : Calculer les limites des suites suivantes :

  1. $u_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n \implies \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ car $\frac{3}{2} > 1$.
  2. $v_n = \left(-\frac{2}{3}\right)^n \implies \lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ car $\left|-\frac{2}{3}\right| < 1$.

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4. Opérations sur les limites

Orientation Pédagogique : Les règles sur les opérations des limites finies et infinies (somme, produit, quotient) pour les fonctions s'appliquent à l'identique aux suites.

⚠️ Attention aux Formes Indéterminées (F.I.) : $\text{F.I.} \in \left\{ "+\infty - \infty" \,;\, "0 \times \infty" \,;\, "\frac{0}{0}" \,;\, "\frac{\infty}{\infty}" \right\}$

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II. Limites et Ordre - Théorèmes de Comparaison

Orientation Pédagogique : Utiliser la forme explicite des théorèmes ci-dessous, issus directement des directives officielles.

1. Théorèmes de comparaison

• Théorème 3 (Minoration et Divergence vers $+\infty$) : Si, à partir d'un certain rang, $v_n \ge \alpha \, u_n$ avec $\alpha > 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors : $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$

• Théorème 4 (Majoration et Divergence vers $-\infty$) : Si, à partir d'un certain rang, $v_n \le \alpha \, u_n$ avec $\alpha > 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$, alors : $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$

• Théorème 5 (Encadrement de la valeur absolue et Convergence) : Si, à partir d'un certain rang, $|v_n - l| \le \alpha \, u_n$ avec $\alpha > 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$, alors : $\lim_{n \to +\infty} v_n = l$

• Théorème 6 (Théorème d'encadrement dit "Des Gendarmes") : Si, à partir d'un certain rang, $v_n \le u_n \le w_n$ et si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = l$, alors la suite $(u_n)$ converge et : $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$

• Démonstrations : [Admis]

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Visualisation TikZ : Encadrement d'une suite (Théorème des Gendarmes)

\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \begin{axis}[
      xlabel={$n$},
      ylabel={$u_n, v_n, w_n$},
      xmin=0, xmax=10,
      ymin=0, ymax=4,
      axis lines=left,
      grid=major,
      legend pos=north east
    ]
    % Suite v_n (minorante)
    \addplot[mark=*, blue, domain=1:10, samples=10] {2 - 2/x};
    \addlegendentry{$v_n$}
    
    % Suite u_n (encadrée)
    \addplot[mark=square*, red, domain=1:10, samples=10] {2 + cos(deg(x*3))/x};
    \addlegendentry{$u_n$}
    
    % Suite w_n (majorante)
    \addplot[mark=triangle*, green!60!black, domain=1:10, samples=10] {2 + 2/x};
    \addlegendentry{$w_n$}
    
    % Ligne asymptote y = l
    \addplot[dashed, black, domain=0:10] {2};
  \end{axis}
\end{tikzpicture}

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III. Critères de Convergence (Monotonie et Bornes)

• Théorème 7 (Admis) :
  1. Toute suite croissante et majorée est convergente.
  2. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

[Croissante + Majorée par M]  ===>  Converge vers l (avec l <= M)
[Décroissante + Minorée par m] ===>  Converge vers l (avec l >= m)

⚠️ Remarque Importante : Le théorème garantit l'existence de la limite $l$, mais il ne donne pas directement sa valeur exacte. Si une suite croissante est majorée par $M$, sa limite $l$ vérifie $l \le M$ (et non obligatoirement $l = M$).

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IV. Suites de la forme $v_n = f(u_n)$ et $u_{n+1} = f(u_n)$

1. Image d'une suite par une fonction continue $v_n = f(u_n)$

• Théorème 8 : Soit $(u_n)$ une suite numérique et $f$ une fonction continue.
  Si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = l$ et si $f$ est continue en $l$, alors : $\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(l)$

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2. Suites récurrentes de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$

• Théorème 9 (Limite d'une suite récurrente) : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ telle que $f(I) \subset I$.
  Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  Si la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $l \in I$, alors $l$ est solution de l'équation : $f(x) = x$

• Démonstration : [Admis selon les orientations pédagogiques]

Visualisation TikZ : Représentation graphique en toile d'araignée (Cobweb Plot)

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
    % Axes
    \draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$};
    \draw[->] (0,-0.2) -- (0,4.2) node[above] {$y$};
    
    % Première bissectrice y = x
    \draw[thick, gray, dashed] (0,0) -- (4,4) node[above right] {$y=x$};
    
    % Courbe de f(x) = sqrt(2x + 3) dans [0, 4]
    \draw[thick, blue, domain=0:3.8, samples=100] plot (\x, {sqrt(2*\x + 3)}) node[right] {$\mathcal{C}_f$};
    
    % Construction de la suite (u0 = 0.5)
    % u0 = 0.5
    % u1 = sqrt(4) = 2
    % u2 = sqrt(7) ~ 2.64
    % Point fixe : x = 3
    \draw[red, thick] (0.5, 0) -- (0.5, 2);
    \draw[red, thick] (0.5, 2) -- (2, 2);
    \draw[red, thick, dotted] (2, 0) -- (2, 2);
    
    \draw[red, thick] (2, 2) -- (2, 2.645);
    \draw[red, thick] (2, 2.645) -- (2.645, 2.645);
    \draw[red, thick, dotted] (2.645, 0) -- (2.645, 2.645);
    
    \draw[red, thick] (2.645, 2.645) -- (2.645, 2.88);
    \draw[red, thick] (2.645, 2.88) -- (2.88, 2.88);
    
    % Noeuds
    \node[below] at (0.5,0) {$u_0$};
    \node[below] at (2,0) {$u_1$};
    \node[below] at (2.645,0) {$u_2$};
    \node[below] at (3,0) {$l$};
    \fill[black] (3,3) circle (2pt);
\end{tikzpicture}

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4. APPLICATIONS DIRECTES (EXERCICES RÉSOLUS)

Application 1 : Calculs de limites de suites usuellement rencontrées

Calculer les limites des suites suivantes :

1. $u_n = \frac{2n^2 - 3n + 1}{5n^2 + 7}$
2. $v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$
3. $w_n = \frac{4^n - 2^n}{4^n + 3^n}$

Corrigé détaillé :

1. Factorisation par le terme prépondérant : $u_n = \frac{n^2 \left(2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2 \left(5 + \frac{7}{n^2}\right)} = \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{5 + \frac{7}{n^2}}$ Comme $\lim \frac{1}{n} = \lim \frac{1}{n^2} = 0$, on obtient par opération : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{2}{5}$.

2. Utilisation de l'expression conjuguée : $v_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ Comme $\lim (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = +\infty$, on a : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = 0$.

3. Suite géométrique : Factorisation par la plus grande base ($4^n$) : $w_n = \frac{4^n \left(1 - \left(\frac{2}{4}\right)^n\right)}{4^n \left(1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n\right)} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n}$ Comme $\left|\frac{1}{2}\right| < 1$ et $\left|\frac{3}{4}\right| < 1$, on a $\lim \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ et $\lim \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0$.
   D'où : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} w_n = 1$.

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Application 2 : Application du Théorème des Gendarmes

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par : $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2 + k} = \frac{1}{n^2 + 1} + \frac{1}{n^2 + 2} + \dots + \frac{1}{n^2 + n}$ Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$.

Corrigé détaillé :

Pour tout $1 \le k \le n$, on a : $n^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n$ En passant à l'inverse (les termes étant strictement positifs) : $\frac{1}{n^2 + n} \le \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{1}{n^2 + 1}$ En faisant la somme de ces $n$ inégalités : $n \times \frac{1}{n^2 + n} \le u_n \le n \times \frac{1}{n^2 + 1} \implies \frac{n}{n^2 + n} \le u_n \le \frac{n}{n^2 + 1}$ Calculons les limites des encadrants :

• $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^2 + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
• $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^2 + 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

D'après le Théorème des Gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

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5. EXERCICES DE SYNTHÈSE (TYPE EXAMEN NATIONAL)

Exercice de Synthèse 1 : Suite Arithmético-Géométrique ($u_{n+1} = a u_n + b$)

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2 \quad (\forall n \in \mathbb{N})$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 3$.
2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ et en déduire qu'elle est convergente.
3. Soit $(v_n)$ la suite auxiliaire définie par $v_n = u_n - 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. a. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison $q$ et le premier terme $v_0$. b. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. c. Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$.
4. On pose $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ puis calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n$.

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Corrigé de l'Exercice 1 :

1. Récurrence :

   • Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1 < 3$. La propriété est vraie.
   • Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $u_n < 3$ et montrons que $u_{n+1} < 3$. $u_n < 3 \implies \frac{1}{3}u_n < 1 \implies \frac{1}{3}u_n + 2 < 3 \implies u_{n+1} < 3$
   • Conclusion : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 3$.

2. Monotonie : $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{3}u_n + 2 - u_n = -\frac{2}{3}u_n + 2 = -\frac{2}{3}(u_n - 3)$ Puisque $u_n < 3$, on a $u_n - 3 < 0$, donc $u_{n+1} - u_n > 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
   Convergence : $(u_n)$ est croissante et majorée par 3, donc elle est convergente.

3. Étude de la suite géométrique $(v_n)$ : a. $v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}u_n + 2 - 3 = \frac{1}{3}u_n - 1 = \frac{1}{3}(u_n - 3) = \frac{1}{3}v_n$.
   Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 3 = 1 - 3 = -2$. b. $v_n = v_0 \times q^n = -2 \left(\frac{1}{3}\right)^n$.
   Comme $u_n = v_n + 3$, on a : $u_n = 3 - 2 \left(\frac{1}{3}\right)^n$. c. Comme $-1 < \frac{1}{3} < 1$, $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0$.
   Par conséquent, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.

4. Somme $S_n$ : $S_n = (v_0 + 3) + (v_1 + 3) + \dots + (v_n + 3) = (v_0 + v_1 + \dots + v_n) + 3(n+1)$ $v_0 + v_1 + \dots + v_n = v_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = -2 \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = -3 \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)$ $S_n = -3 \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right) + 3(n+1)$ Comme $\lim -3 \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right) = -3$ et $\lim 3(n+1) = +\infty$, on conclut par somme : $\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty$

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Exercice de Synthèse 2 : Suite Homographique ($u_{n+1} = \frac{au_n+b}{cu_n+d}$)

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2} \quad (\forall n \in \mathbb{N})$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.
2. Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. a. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$. b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $u_n = \frac{1 + v_n}{1 - v_n}$. c. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

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Corrigé de l'Exercice 2 :

1. Récurrence :

   • Pour $n=0$, $u_0 = 2 > 1$ (Vrai).
   • Soit $n \in \mathbb{N}$, supposons $u_n > 1$. $u_{n+1} - 1 = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2} - 1 = \frac{2u_n + 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{u_n - 1}{u_n + 2}$ Puisque $u_n > 1$, on a $u_n - 1 > 0$ et $u_n + 2 > 0$, donc $u_{n+1} - 1 > 0 \implies u_{n+1} > 1$.
   • Conclusion : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

2. Étude de $v_n$ : a. $v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1} = \frac{\frac{u_n - 1}{u_n + 2}}{\frac{2u_n + 1}{u_n + 2} + 1} = \frac{\frac{u_n - 1}{u_n + 2}}{\frac{3u_n + 3}{u_n + 2}} = \frac{u_n - 1}{3(u_n + 1)} = \frac{1}{3} v_n$.
   $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$ et $v_0 = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$. b. $v_n = v_0 \times q^n = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}$.
   Calcul de $u_n$ : $v_n (u_n + 1) = u_n - 1 \implies v_n u_n + v_n = u_n - 1 \implies u_n (1 - v_n) = 1 + v_n \implies u_n = \frac{1 + v_n}{1 - v_n}$ c. Comme $|1/3| < 1$, $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$.
   Par conséquent : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$

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Exercice de Synthèse 3 : Suite récurrente et Fonction $u_{n+1} = f(u_n)$

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I = [-1, +\infty[$ par : $f(x) = \sqrt{2x + 3}$

1. Étudier les variations de $f$ sur $I$ et montrer que $f([0, 3]) \subset [0, 3]$.
2. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. a. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 3$. b. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. c. En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite $l$.

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Corrigé de l'Exercice 3 :

1. Variations et Image d'intervalle : $f$ est strictement croissante sur $I$.
   $f([0, 3]) = [f(0), f(3)] = [\sqrt{3}, \sqrt{9}] = [\sqrt{3}, 3] \subset [0, 3]$.

2. Étude de la suite $(u_n)$ : a. Récurrence :

   • $n=0 : u_0 = 0 \in [0,3]$.
   • Supposons $u_n \in [0,3]$. Comme $f$ est croissante, $f(0) \le f(u_n) \le f(3) \implies \sqrt{3} \le u_{n+1} \le 3 \implies 0 \le u_{n+1} \le 3$.
   • Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_n \in [0, 3]$. b. Monotonie : Montrons par récurrence que $u_n \le u_{n+1}$.
   • $u_0 = 0$ et $u_1 = \sqrt{3}$, donc $u_0 \le u_1$.
   • Supposons $u_n \le u_{n+1}$. Par croissance de $f$ sur $[0,3]$ : $f(u_n) \le f(u_{n+1}) \implies u_{n+1} \le u_{n+2}$.
   • La suite est donc croissante. c. Convergence et Limite : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 3, elle converge donc vers une limite $l \in [0, 3]$. Comme $f$ est continue sur $[0, 3]$ et $f([0, 3]) \subset [0, 3]$, la limite $l$ vérifie : $f(l) = l \iff \sqrt{2l + 3} = l \iff 2l + 3 = l^2 \quad (\text{avec } l \ge 0)$ $l^2 - 2l - 3 = 0 \implies (l - 3)(l + 1) = 0$ Les solutions sont $l = 3$ et $l = -1$.
     Puisque $l \in [0, 3]$, la seule valeur retenue est : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$