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Fiche_Suites_numériquesFiche_Suites_numériques2Introduction

Voici la fiche pédagogique complète et détaillée du chapitre Suites numériques, conçue selon les directives officielles et les orientations pédagogiques du Ministère de l'Éducation Nationale du Royaume du Maroc pour le niveau 2ème Année du Baccalauréat (Séries PC et SVT).

FICHE PÉDAGOGIQUE DE COURS : SUITES NUMÉRIQUES

  • Niveau : 2ème Année du Baccalauréat (Sciences Physiques - PC / Sciences de la Vie et de la Terre - SVT)
  • Matière : Mathématiques
  • Volume horaire total : 12 Heures
  • Rythme hebdomadaire : 5 Heures / semaine
  • Prérequis : Fonctions numériques (Continuité, Limites), Raisonnement par récurrence, Suites arithmétiques et géométriques (1ère Bac).

Planification des Séances (12 Heures)

SemaineSéanceDuréeContenu / Objectif de la séance
Semaine 1Séance 12hLimites des suites de référence, notions de suite convergente/divergente, limite de qnq^n et nαn^\alpha.
Séance 22hOpérations sur les limites. Limites et ordre. Théorèmes de comparaison.
Séance 31hExercices d'application directe sur les limites usuelles et la comparaison.
Semaine 2Séance 42hCritères de convergence (suites monotones et bornées). Étude de un+1=aun+bu_{n+1} = a u_n + b et un+1=aun+bcun+du_{n+1} = \frac{au_n+b}{cu_n+d}.
Séance 52hLimite de la suite vn=f(un)v_n = f(u_n) et suites de la forme un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) (Théorème du point fixe).
Séance 61hReprésentation graphique des suites récurrentes (méthode de la toile d'araignée / escalier).
Semaine 3Séance 72hExercices de synthèse de type Examen National.

1. OBJECTIFS ET CAPACITÉS ATTENDUES

  1. Utiliser les limites des suites de référence et les théorèmes de comparaison pour déterminer des limites de suites numériques.
  2. Utiliser les critères de convergence (suite croissante majorée, décroissante minorée).
  3. Étudier les suites récurrentes de la forme un+1=aun+bu_{n+1} = a u_n + b et un+1=aun+bcun+du_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d} à l'aide de suites auxiliaires.
  4. Déterminer la limite d’une suite convergente (un)(u_n) vérifiant un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), où ff est continue sur II et f(I)⊂If(I) \subset I.
  5. Utiliser la propriété de la suite image vn=f(un)v_n = f(u_n).
  6. Modéliser et résoudre des problèmes issus de situations variées à l'aide des suites.

2. CONTENU DU COURS DÉTAILLÉ

I. Limite d'une suite – Suites convergentes et divergentes

1. Définition et notions générales

Définition (Suite convergente / divergente)

  • On dit qu'une suite (un)n≥n0(u_n)_{n \ge n_0} est convergente lorsqu'elle admet une limite finie l∈Rl \in \mathbb{R} quand nn tend vers +∞+\infty. On note : lim⁡n→+∞un=l\lim_{n \to +\infty} u_n = l
  • Une suite est dite divergente si elle n'a pas de limite, ou si sa limite est infinie (+∞+\infty ou −∞-\infty).

Remarque Pedagogique (Avis Officiel) Toute étude théorique formelle de la limite (définition avec ε\varepsilon et NN) est strictement hors programme. La notion de limite est introduite de manière intuitive par analogie avec les limites de fonctions en +∞+\infty.

2. Limites des suites de référence

Étant donné qu’une suite numérique est une fonction définie sur N\mathbb{N}, on admet les limites usuelles suivantes issues des limites de fonctions en +∞+\infty :

Propriété (Limites usuelles)

  • Limites infinies : Pour tout entier p∈N∗p \in \mathbb{N}^*, lim⁡n→+∞n=+∞,lim⁡n→+∞n2=+∞,lim⁡n→+∞n3=+∞,lim⁡n→+∞np=+∞,lim⁡n→+∞n=+∞\lim_{n \to +\infty} n = +\infty, \quad \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty, \quad \lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty, \quad \lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty, \quad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty
  • Limites nulles : Pour tout entier p∈N∗p \in \mathbb{N}^*, lim⁡n→+∞1n=0,lim⁡n→+∞1n2=0,lim⁡n→+∞1n3=0,lim⁡n→+∞1np=0,lim⁡n→+∞1n=0\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3} = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0

3. Limite de la suite géométrique qnq^n et de nαn^\alpha

Théorème (Limite de qnq^n pour q∈R∗q \in \mathbb{R}^*)

  • Si q>1q > 1, alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty.
  • Si q=1q = 1, alors lim⁡n→+∞qn=1\lim_{n \to +\infty} q^n = 1.
  • Si −1<q<1-1 < q < 1, alors lim⁡n→+∞qn=0\lim_{n \to +\infty} q^n = 0.
  • Si q≤−1q \le -1, la suite (qn)(q^n) n'a pas de limite (elle diverge par oscillation).

Propriété (Limite de nαn^\alpha pour α∈Q∗\alpha \in \mathbb{Q}^*)

  • Si α>0\alpha > 0, alors lim⁡n→+∞nα=+∞\lim_{n \to +\infty} n^\alpha = +\infty.
  • Si α<0\alpha < 0, alors lim⁡n→+∞nα=0\lim_{n \to +\infty} n^\alpha = 0.

Exemple :

  • lim⁡n→+∞(23)n=0\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0 car −1<23<1-1 < \frac{2}{3} < 1.
  • lim⁡n→+∞(54)n=+∞\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n = +\infty car 54>1\frac{5}{4} > 1.
  • lim⁡n→+∞n32=+∞\lim_{n \to +\infty} n^{\frac{3}{2}} = +\infty car α=32>0\alpha = \frac{3}{2} > 0.

II. Opérations sur les limites

Les règles de calcul algébrique des limites pour les suites sont identiques à celles pour les fonctions en +∞+\infty.

Propriété (Admise) Soit (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites admettant des limites finies ou infinies.

  1. Somme : lim⁡(un+vn)=lim⁡un+lim⁡vn\lim (u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n (sauf forme indéterminée Format:+∞−∞Format: +\infty - \infty).
  2. Produit : lim⁡(un×vn)=lim⁡un×lim⁡vn\lim (u_n \times v_n) = \lim u_n \times \lim v_n (sauf 0×∞0 \times \infty).
  3. Quotient : lim⁡(unvn)=lim⁡unlim⁡vn\lim \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \frac{\lim u_n}{\lim v_n} (sauf 00\frac{0}{0} et ∞∞\frac{\infty}{\infty}).

Attention / Anti-erreur : Les formes indéterminées sont : "+∞−∞+\infty - \infty", "0×∞0 \times \infty", "00\frac{0}{0}", et "∞∞\frac{\infty}{\infty}". Pour lever une forme indéterminée rationnelle, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Exemple résolu : Déterminer lim⁡n→+∞2n2−3n+15n2+4\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{5n^2 + 4}. 2n2−3n+15n2+4=n2(2−3n+1n2)n2(5+4n2)=2−3n+1n25+4n2\frac{2n^2 - 3n + 1}{5n^2 + 4} = \frac{n^2 \left(2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2 \left(5 + \frac{4}{n^2}\right)} = \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{5 + \frac{4}{n^2}} Comme lim⁡1n=lim⁡1n2=0\lim \frac{1}{n} = \lim \frac{1}{n^2} = 0, la limite recherchée est 25\frac{2}{5}.

III. Limites et Ordre – Théorèmes de comparaison

Théorèmes de Comparaison (Admis) Soit (un)(u_n), (vn)(v_n) et (wn)(w_n) des suites numériques. On suppose que les propriétés suivantes sont vérifiées à partir d'un certain rang n0n_0 :

  1. Théorème de comparaison (Divergence) : Si vn≥αunv_n \ge \alpha u_n (avec α>0\alpha > 0) et lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty, alors : lim⁡n→+∞vn=+∞\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty

  2. Théorème de comparaison (Convergence vers 0) : Si ∣vn−l∣≤αun|v_n - l| \le \alpha u_n (avec α>0\alpha > 0) et lim⁡n→+∞un=0\lim_{n \to +\infty} u_n = 0, alors : lim⁡n→+∞vn=l\lim_{n \to +\infty} v_n = l

  3. Théorème des Gendarmes (Encadrement) : Si vn≤un≤wnv_n \le u_n \le w_n et si lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞wn=l\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = l, alors (un)(u_n) converge et : lim⁡n→+∞un=l\lim_{n \to +\infty} u_n = l

Exemple d'application : Soit un=sin⁡(n)nu_n = \frac{\sin(n)}{n}. Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, −1≤sin⁡(n)≤1  ⟹  −1n≤un≤1n-1 \le \sin(n) \le 1 \implies -\frac{1}{n} \le u_n \le \frac{1}{n}. Puisque lim⁡n→+∞−1n=0\lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = 0 et lim⁡n→+∞1n=0\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0, d'après le théorème des gendarmes, lim⁡n→+∞un=0\lim_{n \to +\infty} u_n = 0.

IV. Critères de Convergence (Monotonie et Bornes)

Théorème (Convergence monotone - Admit)

  • Toute suite croissante et majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante et minorée est convergente.
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    % Axes
    \draw[->, thick] (0,0) -- (7.5,0) node[right] {$n$};
    \draw[->, thick] (0,0) -- (0,4.5) node[above] {$u_n$};
    
    % Asymptote / Majorant / Limite
    \draw[dashed, red, thick] (0,3.5) -- (7,3.5) node[right] {$l \text{ (Limite / Majorant)}$};
    
    % Points de la suite croissante et majorée
    \filldraw[blue] (1,0.8) circle (2pt) node[below] {$u_1$};
    \filldraw[blue] (2,1.8) circle (2pt) node[below] {$u_2$};
    \filldraw[blue] (3,2.5) circle (2pt) node[below] {$u_3$};
    \filldraw[blue] (4,2.9) circle (2pt) node[below] {$u_4$};
    \filldraw[blue] (5,3.2) circle (2pt);
    \filldraw[blue] (6,3.35) circle (2pt);
    \filldraw[blue] (6.8,3.42) circle (2pt);
    
    % Courbe d'aide
    \draw[gray, dotted] (1,0.8) -- (2,1.8) -- (3,2.5) -- (4,2.9) -- (5,3.2) -- (6,3.35) -- (6.8,3.42);
\end{tikzpicture}

Remarques cruciales :

  1. Ce théorème garantit l'existence d'une limite finie, mais ne donne pas directement sa valeur exacte.
  2. Une suite croissante non majorée tend vers +∞+\infty.
  3. Une suite décroissante non minorée tend vers −∞-\infty.

V. Suites Récurrentes particulières et Image d'une Suite

1. Suite de la forme vn=f(un)v_n = f(u_n)

Théorème (Image d'une suite) Si la suite (un)(u_n) est convergente et a pour limite ll, et si la fonction ff est continue en ll, alors la suite vn=f(un)v_n = f(u_n) est convergente et : lim⁡n→+∞f(un)=f(l)\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(l)

2. Suite récurrente de la forme un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) (Théorème du point fixe)

Théorème (du Point Fixe - Admits) Soit ff une fonction continue sur un intervalle II telle que f(I)⊂If(I) \subset I. Soit (un)(u_n) une suite définie par u0∈Iu_0 \in I et un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Si la suite (un)(u_n) est convergente de limite l∈Il \in I, Alors la limite ll est solution de l'équation : f(l)=lf(l) = l

Méthode de la Toile d'Araignée (Cobweb Plot / Escalier) : Pour représenter un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), on trace la courbe Cf\mathcal{C}_f et la droite y=xy=x. On part de u0u_0 sur l'axe des abscisses, on va verticalement vers Cf\mathcal{C}_f, puis horizontalement vers la droite y=xy=x, puis verticalement vers Cf\mathcal{C}_f, et ainsi de suite.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
    % Axes
    \draw[->] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[right] {$x$};
    \draw[->] (0,-0.5) -- (0,4.5) node[above] {$y$};
    
    % Droite y = x
    \draw[thick, gray] (-0.2,-0.2) -- (4.2,4.2) node[above right] {$y = x$};
    
    % Courbe f(x) = sqrt(2x + 3) par exemple
    \draw[red, thick, domain=0:4.2, samples=100] plot (\x, {sqrt(2*\x + 3)}) node[right] {$\mathcal{C}_f$};
    
    % Points de récurrence (u_0 = 0.5)
    % f(0.5) = 2
    % f(2) = 2.64
    % f(2.64) = 2.88
    % Limite fixe l = 3
    \draw[dashed, blue] (0.5,0) -- (0.5,2) -- (2,2) -- (2,2.64) -- (2.64,2.64) -- (2.64,2.88) -- (2.88,2.88);
    \draw[dashed, blue] (0.5,2) -- (0,2) node[left] {$u_1$};
    \draw[dashed, blue] (2,2.64) -- (0,2.64) node[left] {$u_2$};
    
    \filldraw[black] (0.5,0) circle (1.5pt) node[below] {$u_0$};
    \filldraw[black] (2,0) circle (1.5pt) node[below] {$u_1$};
    \filldraw[black] (2.64,0) circle (1.5pt) node[below] {$u_2$};
    \filldraw[red] (3,3) circle (2pt) node[above left] {$l$};
\end{tikzpicture}

3. Cas types : un+1=aun+bu_{n+1} = au_n + b et un+1=aun+bcun+du_{n+1} = \frac{au_n+b}{cu_n+d}

Dans la pratique de l'examen national :

  1. On prouve l'encadrement/la monotonie de (un)(u_n) par récurrence.
  2. On utilise une suite auxiliaire (vn)(v_n) (souvent géométrique) pour déterminer la formule explicite de unu_n en fonction de nn.
  3. On calcule lim⁡un\lim u_n.

3. APPLICATIONS DIRECTES (EXERCICES RÉSOLUS)

Application 1 : Calculs de limites et théorèmes de comparaison

Calculer les limites des suites suivantes :

  1. un=3n−4nu_n = 3^n - 4^n
  2. vn=2n+(−1)nnn+1v_n = \frac{2n + (-1)^n \sqrt{n}}{n + 1}

Solution :

  1. Limite de unu_n : un=4n((34)n−1)u_n = 4^n \left( \left(\frac{3}{4}\right)^n - 1 \right). Puisque −1<34<1-1 < \frac{3}{4} < 1, lim⁡n→+∞(34)n=0\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0. Donc lim⁡n→+∞((34)n−1)=−1\lim_{n \to +\infty} \left(\left(\frac{3}{4}\right)^n - 1\right) = -1. Puisque 4>14 > 1, lim⁡n→+∞4n=+∞\lim_{n \to +\infty} 4^n = +\infty. Par produit, lim⁡n→+∞un=−∞\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty.

  2. Limite de vnv_n : On a pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, −1≤(−1)n≤1-1 \le (-1)^n \le 1, donc : 2n−nn+1≤vn≤2n+nn+1\frac{2n - \sqrt{n}}{n+1} \le v_n \le \frac{2n + \sqrt{n}}{n+1} Or lim⁡n→+∞2n−nn+1=lim⁡n→+∞n(2−1/n)n(1+1/n)=2\lim_{n \to +\infty} \frac{2n - \sqrt{n}}{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2 - 1/\sqrt{n})}{n(1 + 1/n)} = 2. De même, lim⁡n→+∞2n+nn+1=2\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + \sqrt{n}}{n+1} = 2. D'après le théorème des gendarmes, lim⁡n→+∞vn=2\lim_{n \to +\infty} v_n = 2.

Application 2 : Étude d'une suite homographique un+1=aun+bcun+du_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d}

Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0 = 0 et un+1=2un+3un+4u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 4} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

  1. Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, 0≤un≤10 \le u_n \le 1.
  2. Soit (vn)(v_n) la suite définie par vn=un−1un+3v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3}. a) Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=15q = \frac{1}{5}. b) Exprimer vnv_n puis unu_n en fonction de nn. c) En déduire la limite de la suite (un)(u_n).

Solution :

  1. Récurrence :

    • Initialisation : u0=0  ⟹  0≤u0≤1u_0 = 0 \implies 0 \le u_0 \le 1. Vrai pour n=0n=0.
    • Hérédité : Supposons 0≤un≤10 \le u_n \le 1. un+1−1=2un+3un+4−1=un−1un+4u_{n+1} - 1 = \frac{2u_n + 3}{u_n + 4} - 1 = \frac{u_n - 1}{u_n + 4}. Comme un≤1u_n \le 1, un−1≤0u_n - 1 \le 0. Comme un≥0u_n \ge 0, un+4>0u_n + 4 > 0. Donc un+1−1≤0  ⟹  un+1≤1u_{n+1} - 1 \le 0 \implies u_{n+1} \le 1. De plus, 2un+3>02u_n + 3 > 0 et un+4>0  ⟹  un+1≥0u_n + 4 > 0 \implies u_{n+1} \ge 0. D'où 0≤un+1≤10 \le u_{n+1} \le 1.
    • Conclusion : Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, 0≤un≤10 \le u_n \le 1.

  2. Suite auxiliaire (vn)(v_n) : a) vn+1=un+1−1un+1+3=un−1un+42un+3+3un+12un+4=un−15un+15=15(un−1un+3)=15vnv_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 3} = \frac{\frac{u_n - 1}{u_n + 4}}{\frac{2u_n+3 + 3u_n+12}{u_n+4}} = \frac{u_n - 1}{5u_n + 15} = \frac{1}{5} \left(\frac{u_n - 1}{u_n + 3}\right) = \frac{1}{5} v_n. Donc (vn)(v_n) est géométrique de raison q=15q = \frac{1}{5} et de premier terme v0=0−10+3=−13v_0 = \frac{0-1}{0+3} = -\frac{1}{3}.

    b) vn=v0×qn=−13(15)nv_n = v_0 \times q^n = -\frac{1}{3} \left(\frac{1}{5}\right)^n. De vn=un−1un+3v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3}, on tire : vn(un+3)=un−1  ⟺  un(vn−1)=−3vn−1  ⟺  un=1+3vn1−vnv_n(u_n + 3) = u_n - 1 \iff u_n(v_n - 1) = -3v_n - 1 \iff u_n = \frac{1 + 3v_n}{1 - v_n}. D'où : un=1−(15)n1+13(15)nu_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^n}{1 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{5}\right)^n}.

    c) Comme −1<15<1-1 < \frac{1}{5} < 1, lim⁡n→+∞(15)n=0\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^n = 0. Ainsi, lim⁡n→+∞un=1−01+0=1\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.

4. EXERCICES DE SYNTHÈSE (FORMAT EXAMEN NATIONAL)

Exercice 1 : Étude de suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) et Point Fixe

Soit ff la fonction définie sur I=[1,2]I = [1, 2] par f(x)=2x+3f(x) = \sqrt{2x + 3}.

  1. Montrer que ff est strictement croissante sur II et que f(I)⊂If(I) \subset I.
  2. Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=1u_0 = 1 et un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. a) Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, 1≤un≤31 \le u_n \le 3. b) Montrer que la suite (un)(u_n) est strictement croissante. c) En déduire que la suite (un)(u_n) est convergente.
  3. Déterminer la limite ll de la suite (un)(u_n).

Éléments de réponse :

  1. f′(x)=222x+3=12x+3>0f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} > 0. ff est continue et strictement croissante. f(1)=5≈2.23f(1) = \sqrt{5} \approx 2.23 et f(3)=3f(3) = 3. Donc f([1,3])=[5,3]⊂[1,3]f([1,3]) = [\sqrt{5}, 3] \subset [1,3].
  2. a) Par récurrence : u0=1∈[1,3]u_0 = 1 \in [1,3]. Si 1≤un≤31 \le u_n \le 3, comme ff est croissante, f(1)≤f(un)≤f(3)  ⟹  5≤un+1≤3  ⟹  1≤un+1≤3f(1) \le f(u_n) \le f(3) \implies \sqrt{5} \le u_{n+1} \le 3 \implies 1 \le u_{n+1} \le 3. b) Monotonie : u1=f(1)=5>1=u0u_1 = f(1) = \sqrt{5} > 1 = u_0. Par récurrence appliquée à l'accroissement, un<un+1u_n < u_{n+1}. La suite est strictement croissante. c) Convergence : (un)(u_n) est croissante et majorée par 33, elle converge donc vers une limite l∈[1,3]l \in [1, 3].
  3. Calcul de ll : Puisque ff est continue sur I=[1,3]I=[1,3], que f(I)⊂If(I) \subset I, et que (un)(u_n) converge vers ll, ll vérifie l'équation f(l)=lf(l) = l. 2l+3=l  ⟺  2l+3=l2(avec l≥0)\sqrt{2l + 3} = l \iff 2l + 3 = l^2 \quad (\text{avec } l \ge 0) l2−2l−3=0  ⟺  (l−3)(l+1)=0l^2 - 2l - 3 = 0 \iff (l-3)(l+1) = 0 Comme l∈[1,3]l \in [1, 3], la seule solution valide est l=3l = 3. Conclusion : lim⁡n→+∞un=3\lim_{n \to +\infty} u_n = 3.

Exercice 2 : Modélisation / Problème concret

Une réserve naturelle compte 10001000 individus d'une espèce menacée en l'an 20242024. Chaque année, la population augmente de 10%10\% par les naissances naturelles, mais 5050 individus sont retirés pour d'autres parcs. On note unu_n le nombre d'individus l'année (2024+n)(2024 + n).

  1. Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_n, avec u0=1000u_0 = 1000.
  2. Soit vn=un−500v_n = u_n - 500. a) Montrer que (vn)(v_n) est géométrique de raison 1,11,1. b) Exprimer vnv_n puis unu_n en fonction de nn.
  3. Calculer la limite de unu_n. Que peut-on conclure quant à l'évolution de la population à long terme ?

Éléments de réponse :

  1. Une hausse de 10%10\% correspond au coefficient multiplicateur 1,101,10. Ainsi : un+1=1,1un−50u_{n+1} = 1,1 u_n - 50.
  2. a) vn+1=un+1−500=1,1un−50−500=1,1un−550=1,1(un−500)=1,1vnv_{n+1} = u_{n+1} - 500 = 1,1 u_n - 50 - 500 = 1,1 u_n - 550 = 1,1(u_n - 500) = 1,1 v_n. v0=1000−500=500v_0 = 1000 - 500 = 500. (vn)(v_n) est géométrique de raison q=1,1q = 1,1. b) vn=500×(1,1)nv_n = 500 \times (1,1)^n, d'où un=500×(1,1)n+500u_n = 500 \times (1,1)^n + 500.
  3. Comme 1,1>11,1 > 1, lim⁡n→+∞(1,1)n=+∞\lim_{n \to +\infty} (1,1)^n = +\infty, donc lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty. À long terme, la population de la réserve continuera de croître indéfiniment.