📝 Exercices de la série▼
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Exercice 2

Soit ff la fonction définie par : f(x)=x2f(x)=x^2, (Cf)(C_f) est sa courbe représntative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

  1. Montrer que ff est dérivable en 22 et donner f′(2)f'(2)
  2. Ecrire l'équation de la tangente à (Cf)(C_f) au point AA d'abscisse 22
  3. Calculer une valeur approchée de f(1,0000001)f(1,0000001)
  4. Construire (Cf)(C_f) et (T)(T)

1/

lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1x2−12x−1=lim⁡x→1(x−1)(x+1)x−1=lim⁡x→1x+1=2\begin{align*} \lim\limits_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} &=\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1^2}{x-1} \\&=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\&=\lim\limits_{x\to1}x+1=2 \end{align*}

Donc ff est dérivable en 11 et f′(1)=2f'(1)=2

2/

L'équation de la tangente : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) avec x0=1x_0=1

et donc y=2(x−1)+1=2x−1y=2(x-1)+1=2x-1

3/

On a y=2x−1y=2x-1 est une valeur approchée de f(x)f(x) au voisinage de 11

Donc :

f(1,0000001)≃2×1,0000001−1f(1,0000001) \simeq 2\times1,0000001-1

et donc f(1,0000001)≃1,0000002f(1,0000001) \simeq1,0000002

4/

xyO~i~j(Cf)(T)