• $f:x\mapsto 3x-1$ et $x_0=2$

$$\begin{align*} \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}&=\lim\limits_{x\to 2}\frac{3x-1-5}{x-2}\\ &=\lim\limits_{x\to 2}\frac{3(x-2)}{x-2}\\&=3 \end{align*}$$

Donc $f$ est dérivable en $2$ et on a $f'(2)=3$

---

• $g:x \mapsto x^2+1$ et $x_0=-1$

$$\begin{align*} \lim\limits_{x\to -1}\frac{g(x)-g(-1)}{x-(-1)} &=\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^2+1-2}{x+1}\\ &=\lim\limits_{x\to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}\\ &=\lim\limits_{x\to-1}x-1\\ &=-2 \end{align*}$$

Donc $g$ est dérivable en $0$ et on a $g'(-1)=-2$

---

• $h: x\mapsto \sqrt{x}$ et $x_0=0$

$$\begin{align*} \lim\limits_{x\to 0}\frac{h(x)-h(0)}{x-0} &=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}}{x} \\&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}^2}{x\sqrt{x}} \\&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{|x|}{x\sqrt{x}} \end{align*}$$

• $\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$
• $\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to 0}}\frac{-1}{\sqrt{x}}=-\infty$

Donc la fonction $h:x\mapsto \sqrt x$ n'est pas dérivable en $0$

$$\begin{align*} \end{align*}$$