Résumé, Analytique du produit scalaire

I- Propriétés

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

$\vec{u}(x,y)$ et $\vec{v}(x',y')$ deux vecteurs du plan

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$

• $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}.\vec{v}=0\iff xx'+yy'=0$

• $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$

• $\cos(\theta) = \dfrac{xx' + yy'}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

• $\sin(\theta) = \dfrac{xy' - x'y}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

II- La droite

1) Vecteur normal et droites perpendiculaires

• Soit $(D)$ une droite dans le plan.
  Tout vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de $(D)$ est appelé vecteur normal à $(D)$.

• $(D)$ est une droite de vecteur normal $\vec{n}$ et $(D')$ est une autre droite de vecteur normal $\vec{n}'$

  $$(D)\perp (D') \iff \vec{n}.\vec{n}'=0$$

2) Equation cartésienne

• $ax+by+c=0$ est d’équation cartésienne d’une droite $(D)$ $\iff \vec{n}(a,b)$ vecteur normal à $(D)$

• Si $\vec{n}$ est un vecteur normal à $(D)$ et $A\in(D)$ alors :

  $$M(x, y) \in (D) \iff \vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$$

3) Distance d’un point à une droite

Soit $(D)$ une droite, $A$ un point du plan, et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(D)$.
La distance $AH$ est appelée distance du point $A$ à la droite $(D)$ et on écrit :
$d(A, (D)) = AH$

• Soit $(D) : ax + by + c = 0$ une droite et $A(x_A, y_A)$ un point du plan.
  $$d(A, (D)) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

III- Le cercle

1) Equation cartésienne

• Soit $(C)$ un cercle de centre $\Omega(x_\Omega,y_\Omega)$ et de rayon $R>0$ et $M(x,y)\in(C)$

  $$\begin{align*} M(x,y)\in(C) \iff (x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2 \end{align*}$$

• Soient $A$ et $B$ deux points distincts.

L’ensemble des points $M$ du plan qui vérifient : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est un cercle de diamètre $[AB]$.

2) Représentation paramétrique

Le système $(S)$ est appelé une représentation paramétrique du cercle de centre $\Omega(x_\Omega,y_\Omega)$ et de rayon $R$

IV- Positions relative : droite-cercle

1) Position

Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$, et (D) und droite.

Soit $d$ la distance du point à la droite $(D)$

• si d$>R$ alors (D) ne coupe pas $(\mathcal{C})$
• si d$<R$ alors (D) coupe $(\mathcal{C})$ en deux points
• si d$=R$ alors (D) coupe $(\mathcal{C})$ en un seul point A, on dit que (D) est tangent à $(\mathcal{C})$ au point A

2) équation cartésiennede la tangente à un cercle en un point donné de ce cercle

$A$ est un point d’un cercle $(C)$ de centre $\Omega$.

La tangente en $A$ au cercle $(C)$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à la droite $(\Omega A)$