Notes de cours, le barycentre

Sommaire

Barycentre de deux points

Définition

$G$ barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$ si et seulement si :

Points alignés

Si $G$ est le barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$ , alors $G \in (AB)$ .

De même, si $G$ est le barycentre de $(E,\alpha)$ et $(F,\beta)$ , alors $G \in (EF)$ .

Enfin, si $G$ est le barycentre de $(M,\gamma)$ et $(N,\theta)$ , alors $G \in (MN)$ .

Ainsi, les droites $(AB)$ , $(EF)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$ .

Homogénéité

Si $G$ barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$ alors : $G$ barycentre de $(A,ka)$ et $(B,kb)$ pour tout $k\ne0$

Propriété caractéristique

Si $G$ barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$ alors :

a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG}

En particulier si $M=A$ :

\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}

Coordonnées

Si $G$ barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$ alors :

\begin{cases} x_G = \dfrac{a x_A + b x_B}{a+b} \\[8pt] y_G = \dfrac{a y_A + b y_B}{a+b} \end{cases}

Définition

$G$ barycentre de $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$ si et seulement si :

$a+b+c\ne0$
$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0}$

Homogénéité

Si $G$ barycentre de $(A,a),~(B,b)$ et $(C,c)$ alors : $G$ barycentre de $(A,ka)$ , $(B,kb)$ et $(C,kc)$ pour tout $k\ne0$

Propriété caractéristique

Si $G$ barycentre de $(A,a),~(B,b)$ et $(C,c)$ alors :

a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}

En particulier si $M=A$ :

\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB} + \dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}

Associativité

Si $G$ barycentre de $(A,a),(B,b),(C,c)$ et $H$ barycentre de $(A,a),(B,b)$ , alors :
$G$ est barycentre de $(H,a+b)$ et $(C,c)$

Coordonnées

Si $G$ barycentre de $(A,a),~(B,b)$ et $(C,c)$

\begin{cases} x_G = \dfrac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c} \\[8pt] y_G = \dfrac{a y_A + b y_B + c y_C} {a+b+c} \end{cases}