Le fonctionnement de la balance romaine est bassé sur le principe d'Archimède telle que la relation :

$$m\times OB=M\times OA$$

1. Montrer qu'à l'équilibre, la relation vectorielle $M.\overrightarrow{OA}+m.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$ est vérifiée.

   Le point $O$ est appelé barycentre des points pondérés (A,M) et (B,m)

2. Déterminer le point $O$ dans le cas où $M=m$

3. On suppose que $m=300g$ et $\overrightarrow{OB}=-3\overrightarrow{OA}$, quelle est la valeur de la masse $M$ ?

Correction

1. à l'quilibre d'aprés le théorème des moments (vu en physique) on a $m\times OB=M\times OA$

   et puisque les vecteurs $M.\overrightarrow{OA}$ et $m.\overrightarrow{OB}$ ont la m$\hat{e}$me direction et des sens opposés

   alors : $M.\overrightarrow{OA}+m.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$ est vérifiée

2. Si $M=m$ alors : $M.\overrightarrow{OA}+m.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$

   $\implies \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$

   Donc le point $O$ est le milieu du segment $[AB]$

3. On a $m\times OB=M\times OA$ donc : $M=\dfrac{m\times OB}{OA}$

   on a $\overrightarrow{OB}=-3\overrightarrow{OA}$ donc $OB=3OA$

   et donc $M=\dfrac{m\times OB}{OA}=\dfrac{m\times 3 OA}{OA}=3m=900g$