تمارين - TCSF & TCTF

الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية

درس : Les polynômes

Exercice 4

Considérons le polynôme :

P(X)=2X3+3X2+2X+1P(X)=2X^3+3X^2+2X+1
  1. Déterminer le degré de P(X)P(X)
  2. Montrer que −1-1 est une racine de P(X)P(X)
  3. Dire pourquoi le reste de la division euclidienne de P(X)P(X) sur X+1X+1 est égale 00 (sans Effectuer la division)
  4. Effectuer la division euclidienne de P(X)P(X) par (X+1)(X+1)
  5. Résoudre dans R\mathbb{R} l’equation : 2X3+3X2+2X+1=02X^3+3X^2+2X+1=0

  1. deg⁡P(X)=3\deg P(X)=3

  2. On a :

    P(−1)=2(−1)3+3(−1)2+3(−1)+1=−2+3−2+1=0\begin{align*} P(-1)&=2(-1)^3+3(-1)^2+3(-1)+1\\ &=-2+3-2+1\\ &=0 \end{align*}

    donc −1-1 est une racine de P(X)P(X)

  3. Car : X−(−1)=X+1X-(-1)=X+1 et −1-1 est une racine de P(X)P(X)

    Autrement : On sait que P(X)=(X−(−1))Q(X)+P(−1)P(X)=(X-(-1))Q(X)+P(-1) et comme P(−1)=0P(-1)=0 , alors P(X)=(X+1)Q(X)P(X)=(X+1)Q(X)

2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 x + 1 − 2 x 3 − 2 x 2 x 2 + 2 x − x 2 − x x + 1 − x − 1 0 2 x 2 + x + 1
2X3+3X2+2X+1=0  ⟺  P(X)=0\begin{align*} 2X^3+3X^2+2X+1=0 \iff& P(X)=0 \\ \end{align*}
P(X)=0  ⟺  (X+1)(2X2+X+1)=0X+1=0 ou 2X2+X+1=0X=−1 ou 2X2+X+1=0\begin{align*} P(X)=0 &\iff (X+1)(2X^2+X+1)=0 \\ & X+1=0 \text{ ou } 2X^2+X+1=0 \\ & X=-1\text{ ou } 2X^2+X+1=0 \end{align*}

Pour l’équation 2X2+X+1=02X^2+X+1=0 on a Δ=−3<0\Delta=-3<0,

alors l’équation 2X2+X+1=02X^2+X+1=0 n’a pas de solution dans R\R

et donc l’équation P(X)=0P(X)=0 a une unique solution dans R\R qui −1-1