Exercice 7

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par : $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{3u_n - 8}{2u_n - 5} \quad (\forall n \in \N) \end{array} \right. $$ 1. Montrer que $(\forall n \in \N) ~ u_n < 2$. 2. On pose : $(\forall n \in \N) ~ v_n = \dfrac{u_n - 3}{u_n - 2}$. a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 2$, puis calculer son premier terme. b) Calculer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire : $(\forall n \in \N) ~ u_n = \dfrac{1 + 4n}{1 + 2n}$. c) Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$. d) Calculer $S = v_0 + v_1 + v_2 + \dots + v_{10}$.

Correction

$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{3u_n - 8}{2u_n - 5} \end{array} \right. $$ 1. Par récurrence : - **Initialisation :** $u_0 = 1 < 2$ - **Hérédité :** soit $n\in\N$, supposons que $u_n < 2$ et montrons que $u_{n+1} < 2$ On a : $$ \begin{align*} u_{n+1}-2&=\frac{3u_n - 8}{2u_n - 5} - 2\\& = \frac{-u_n + 2}{2u_n - 5} \end{align*} $$ et on a $u_n < 2$, alors $-u_n + 2 > 0$ et $2u_n - 5 < 0$ le quotient $\frac{-u_n + 2}{2u_n - 5}$ est négatif et donc $u_{n+1} < 2$ - **Conclusion** : $$ (\forall n\in\N)~ u_n < 2 $$ --- 2. $v_n = \dfrac{u_n - 3}{u_n - 2}$ **a)** Montrons que $(v_n)$ est arithmétique : $$ \begin{align*} v_{n+1} &=\dfrac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}-2}\\ &=\dfrac{3u_n-7}{u_n-2} \end{align*} $$ $$ v_{n+1}-v_n=\dfrac{2u_n-4}{u_n-2}=2 $$ Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 2$ et de prmier terme $v_0$ : $$ v_0 = \frac{u_0 - 3}{u_0 - 2} = \frac{1 - 3}{1 - 2} = 2 $$ --- **b)** Exprimer $v_n$ et $u_n$ : Suite arithmétique : $$ \begin{align*} v_n &=v_0+nr\\&=2 + 2n \\&= 2(1 + n) \end{align*} $$ et on a : $$ \begin{align*} v_n=\frac{u_n-3}{u_n-2}&\implies v_nu_n-2v_n=u_n-3\\ &\implies u_n(v_n-1)=2v_n-3 \\ &\implies u_n=\frac{2v_n-3}{v_n-1} \end{align*} $$ Alors : $$ u_n = \frac{2v_n - 3}{v_n - 1} = \frac{4n + 1}{2n + 1} $$ --- **c)** Calcul de la limite : $$ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4n + 1}{2n + 1} = \frac{4}{2} = 2 $$ --- **d)** Calcul de $S = v_0 + v_1 + \cdots + v_{10}$ $$ v_{10}=2(1+10)=22 $$ Suite arithmétique de premier terme $v_0 = 2$, raison $r = 2$, $n = 11$ termes : $$ S = \frac{11}{2}(v_0 + v_{10}) = \frac{11}{2}(2 + 22) = 132 $$