Calculons d'abord : $Card(\Omega)$

Il s'agit de tirages successifs sans remise :

🔵 Chaque tirage est une arrangement sans répition de 2 éléments parmi 8

$$Card(\Omega) =A_8^2 =8 \times 7 = 56$$

1/a/ Calcul de $p(A)$ : au moins une boule blanche

Complémentaire $\bar{A}$ : on utilise $p(A) = 1 - p(\bar{A})$

$\bar{A}$ : "aucune boule blanche" c-à-d tirée : $\bar{B},\bar{B}$

$Card(\bar{A})=A_6^2=6\times5=30$

$$p(A)=1-p(\bar{A})=1-\dfrac{30}{56}=\frac{13}{28}$$

b/ Calcul de $p(B)$ : deux boules de même couleur

Trois cas :

• Deux rouges : $A_3^2 = 6$
• Deux vertes : $A_3^2 = 6$
• Deux blanches : $A_2^2 = 2$

Donc :

$$p(B) = \frac{6 + 6 + 2}{56} = \frac{14}{56} = \frac{1}{4}$$

---

2/ $\quad X=$ nombre de boules blanches tirées

a/ $p(X = 2) = \dfrac{1}{28}$ ?

• Tirer deux blanches sans remise : $$A_2^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad p(X = 2) = \frac{2}{56} = \boxed{\frac{1}{28} }$$

b/

Loi de probabilité de $X$

• $X = 0$ : aucune blanche

  $$p(X=0) =p(\bar{A}) = \frac{30}{56}=\frac{15}{28}$$

• $X = 1$ : une seule blanche
  Deux cas possibles : $B,\bar{B}$ ou $\bar{B},B$

  • blanche puis non blanche : $A_2^1\times A_6^1 = 12$
  • non blanche puis blanche : $A_6^1\times A_2^1 = 12$
  $$p(X = 1) = \frac{12 + 12}{56} = \frac{3}{7}$$

• $X = 2$ : deux blanches

  $$p(X=2) = \frac{1}{28}$$

$x_i$	0	1	2
$p(X = x_i)$	$\dfrac{15}{28}$	$\dfrac{3}{7}$	$\dfrac{1}{28}$

Espérance mathématique

$$E(X) = 0 \cdot \frac{15}{28} + 1 \cdot \frac{3}{7} + 2 \cdot \frac{1}{28} = \boxed{\frac{1}{2}}$$