I. L'ensemble $\mathbb{C}$

1) Aspet Algébrique

On désigne par $\bf i$ le nombre tel que $\bf i^2 =-1$ , et on appelle nombre complexe tout nombre $z$ ayant une écriture du type

$$\bf\color{blue}z=a+ib$$

ou a et b sont des nombres réels. Cette écriture est appelée ${\bf \color{blue}\text{forme algèbrique}}$, du nombre complexe $z$, et les nombres $a$ et $b$ sont respectivement appelés ${\bf \text{partie réelle}}$ et ${\bf \text{partie imaginaire}}$ du nombre complexe $z$. On note :

$$a=\mathcal{R}e(z)~~~ et~~~ b=\mathcal{I}m(z)$$

On désigne par $\mathbb{C}$ l’ensemble des nombres complexes. Il contient l’ensemble $\R$ des nombres réels (on note $\R\subset \mathbb{C}$)

$$\bf \color{blue} \mathbb{C}=\{z=a+ib / a,b\in\R\}$$

Exemples

1. Les nombres $1+i$ ; $-3+5i$ ; $2i$ ; $1-\sqrt{3}i$ sont des nombres complexes
2. Dans chacun des exemples suivants, donner la partie réelle et la partie imaginaire de $z$:

• $z=2+3i$
• $z=-1+\dfrac{1}{2}i$
• $z=-i$
• $z=2$
• $z=4i-\dfrac{1}{3}$

Correction

• $z=2+3i$ alors :

  $\mathcal{R}e(z)=2$ et $\mathcal{I}m(z)=3$

• $z=-1+\dfrac{1}{2}i$ alors :

  $\mathcal{R}e(z)=-1$ et $\mathcal{I}m(z)=\dfrac12$

• $z=-i=0+(-1)i$ alors :

$\mathcal{R}e(z)=0$ et $\mathcal{I}m(z)=-1$

• $z=2=2+0.i$ alors :

$\mathcal{R}e(z)=2$ et $\mathcal{I}m(z)=0$

• $z=4i-\dfrac{1}{3}=-\dfrac13+4i$ alors :

$\mathcal{R}e(z)=-\dfrac13$ et $\mathcal{I}m(z)=4$

2) Aspet Géométrique

Le plan $\mathcal{(P)}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$

• à tout nombre complexe $z=x+yi$, on lui fait correspondre un point $M(x,y)$, on dit que $M$ est l’image du nombre complexe $z$, et on écrit $M(z)$
• on dit que $z$ est l’affixe du point $M$, et on écrit $z_M$ ou $z=aff(M)$
• on dit que $z$ est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{OM}$, et on écrit $z_{\overrightarrow{OM}}=z$
• Le plan ($\mathcal{P}$) est appelé le plan complexe

• Le point O est l’image du nombre 0.
• L'axe des abscisses $(O,\vec{u})$ est dit axe réel;
• l’axe des ordonnées $(O,\vec{v})$ est dit axe des imaginaires

Application

Place dans le plan complexe les points $M_i$ d'affixes $z_i$ : \begin{multicols}{4} \begin{itemize}

• $z_1=2+3i$
• $z_2=3+i$
• $z_3=-1+2i$
• $z_4=2-i$
• $z_5=i$
• $z_6=-2i$
• $z_7=-2$
• $z_8=-i-3$

Correction

---

3) Propriétés

Proposition:

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire :

$$\begin{aligned} z=z' \quad &\iff \quad a+ib=a'+ib' \\ \quad &\iff \quad a=a' \text{ et } b=b'. \end{aligned}$$

Cas particulier : $a+ib=0 \iff a=0 \text{ et } b=0$

Proposition:

On pose $z=a+ib$, $z'=a'+ib'$ et $k\in\R$, on a :

• $z+z'=(a+a')+i(b+b')$,
• $z-z'=(a-a')+i(b-b')$,
• $kz=ka+ikb$,
• $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$.

Preuve:

$$\begin{aligned} z.z'&=(a+ib)(a'+ib')\\&=aa'+iab'+ia'b+i^2bb'\\&=(aa'-bb')+i(ab'+a'b) \end{aligned}$$

Proposition:

Soient $z$ et $z'$ deux complexes.

• $z$ est un réel si et seulement si $\mathcal{I}m(z)=0$
• $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $\mathcal{R}e(z)=0$
• $z=z' \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\mathcal{R}e(z)=\mathcal{R}e(z')\\ \text{ et } \mathcal{I}m(z)=\mathcal{I}m(z')\end{matrix}\right.$

Exercice:

1. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

   • $a=(1+2i)^2$
   • $b=(5+i)(3-2i)$
   • $c=5i(3+2i)$

2. Soit $x$ un nombre réel posons : $z=x+1+i(x^2-x)$

a) Déterminer x pour que z soit réel

b) Déterminer x pour que z soit imaginaire pur.

Correction:

1.

$\begin{aligned} a&=(1+2i)^2=1^2+2\times1\times2i+(2i)^2\\&=1+4i-4=-3+4i\\ b&=(5+i)(3-2i)\\&=15-10i+3i-2i^2\\&=15-7i+2=17-7i\\ c&=5i(3+2i)=15i+10i^2\\&=-10+15i \end{aligned}$

2. Soit $x\in\R$ ; $z=x+1+i(x^2-x)$

a/

$\begin{aligned} z\in\R &\Longleftrightarrow \mathcal{I}m(z)=0 \\ &\Longleftrightarrow x^2-x=0 \\ &\Longleftrightarrow x(x-1)=0 \\ &\Longleftrightarrow x=0 \text{ ou } x=1 \end{aligned}$

b/

$\begin{aligned} z\in i\R &\Longleftrightarrow \mathcal{R}e(z)=0 \\ &\Longleftrightarrow x+1=0 \\ &\Longleftrightarrow x=-1 \end{aligned}$

Proposition:

Si $A$, $B$ et $C$ trois points du plan complexe (P) d’affixes respectivement,$z_A$, $z_B$ et $z_C$, alors :

1. l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est : $z_B-z_A$ et on a $AB=||\overrightarrow{AB}||=|z_B-z_A|$
2. l’affixe de $I$, milieu de $[AB]$ est : $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$
3. Si $A\ne C$. les points $A$,$B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\in\R$

Preuve:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \implies z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$$

$I$ est milieu de $[AB]$ alors

$$\begin{aligned} &\implies\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\\ &\implies z_A-z_I+z_B-z_I=0\\& \implies 2z_I=z_A+z_B \end{aligned}$$ $$\begin{align*} &\text{les points A,B et C sont alignés }\\ &\iff \exists k \in \R ~ : ~ \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC} \end{align*}$$ $$\begin{align*} \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}&\iff z_B-z_A=k(z_C-z_A)\\ &\iff \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=k\\ &\iff \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\in \R \end{align*}$$

Exercice: Soient A et B et C trois points dont les affixes respectivement sont : $z_A=-1+i~~~,~~~ z_B=2i ~~~ \text{ et } ~~~ z_C=2-2i$

1. Déterminer l'affixe de $I$ milieu de $[BC]$
2. Les points $A$, $B$ et $C$ sont ils alignés?
3. Calculer $|z_A-z_B|$ , $|z_A-z_C|$ et $|z_C-z_B|$ puis conculre.

Correction:

1. $z_I=\dfrac{z_B+z_C}{2}=\dfrac{2i+2-2i}{2}=1$

$$\begin{align*} \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}&=\dfrac{2i+1-i}{2-2i+1-i}\\ &=\dfrac{i+1}{3-3i}=\dfrac{(i+1)(3+3i)}{(3-3i)(3+3i)} \\&=\dfrac{3i-3+3+3i}{3^2-(3i)^2} \\&=\dfrac{6i}{9+9}=\dfrac13 i \end{align*}$$

Comme $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\notin\R$,alors les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés

$$\begin{align*} |z_A-z_B|&=|-1+i-2i|\\&=|-1-i|\\&=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\\&=\sqrt{2}\\ \end{align*}$$ $$\begin{align*} |z_A-z_C|&=|-1+i-2+2i|\\&=|-3+3i|\\&=\sqrt{(-3)^2+(3)^2}\\&=\sqrt{18} \end{align*}$$ $$\begin{align*} |z_C-z_B|&=|2-2i-2i|\\&=|2-4i|\\&=\sqrt{(2)^2+(-4)^2}\\&=\sqrt{20} \end{align*}$$

Conclusion :

• $AB=|z_A-z_B|=\sqrt{2}$
• $AC=|z_A-z_C|=\sqrt{18}$
• $BC=|z_C-z_B|=\sqrt{20}$

Donc $AB^2=2$ et $AC^2=18$ et $BC^2=20$

Alors $AB^2+AC^2=BC^2$

D'aprés la réciproque de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle en $A$

4) Conjugué d'un nombre complexe

Définition

Le $\color{blue}\bf \text{conjugué}$ de $z = a + i b$ est $\bar{z} = a - i b$

Proposition : Soit $z=x+iy$ un nombre complexe tel que $x$ et $y$ sont des réels.

• $\bar{\bar{z}}=z$
• $z+\bar{z}=2\mathcal{R}e(z)$ et $z-\bar{z}=2i\mathcal{I}m(z)$
• $z.\bar{z}=x^2+y^2$
• $z\in\R \Leftrightarrow z=\bar{z}$
• $z\in i\R \Leftrightarrow z=-\bar{z}$

Preuve :

Soit $z=x+iy$ alors $\bar{z}=x-iy$

$\begin{aligned} \quad\bullet \quad \bar{\bar{z}}&=\overline{x-iy}=\overline{x+i(-y)}\\&=x-i(-y)=x+iy=z \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad\bullet \quad z+\bar{z}&=x+iy+x-iy\\&=2x=2\mathcal{R}e(z) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad\bullet \quad z-\bar{z}&=x+iy-(x-iy)\\&=x+iy-x+iy\\&=2iy=2i\mathcal{I}m(z) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad\bullet \quad z.\bar{z}&=(x+iy)(x-iy)\\&=x^2-ixy+ixy-i^2y^2\\&=x^2+y^2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad\bullet \quad z=\bar{z} &\Leftrightarrow x+iy=x-iy \\&\Leftrightarrow 2iy=0 \\&\Leftrightarrow y=0 \\ &\Leftrightarrow \mathcal{I}m(z)=0 \\ &\Leftrightarrow z\in\R \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad\bullet \quad z=-\bar{z} &\Leftrightarrow x+iy=-x+iy \\ &\Leftrightarrow 2x=0\\ &\Leftrightarrow x=0 \\ &\Leftrightarrow \mathcal{R}e(z)=0\\ &\Leftrightarrow z\in i\R \end{aligned}$

Proposition : Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes, et $n$ un entier naturel :

• $\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}$
• $\overline{z.z'}=\bar{z}.\bar{z'}$
• $\overline{z^n}=(\bar{z})^n$
• $\overline{(\dfrac{z}{z'})}=\dfrac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ avec $z'\ne0$

Exercice : Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : $a=\dfrac{2}{3+2i} ~~~ ;; ~~~ b=\dfrac{1+i}{5-3i}$

Correction :

$$\begin{aligned} a&=\dfrac{2}{3+2i}=\dfrac{2(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}\\&=\dfrac{6-4i}{3^2-(2i)^2}=\dfrac{6-4i}{9-(-4)}\\&=\dfrac{6-4i}{13}=\dfrac{6}{13}-\dfrac{4}{13}i \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} b&=\dfrac{1+i}{5-3i}=\dfrac{(1+i)(5+3i)}{(5-3i)(5+3i)}\\ &=\dfrac{5+3i+5i+3i^2}{5^2-(3i)^2}\\ &=\dfrac{5+8i-3}{25-(-9)}=\dfrac{2+8i}{34}\\ &=\dfrac{2}{34}+\dfrac{8}{34}i=\dfrac{1}{17}+\dfrac{4}{17}i \end{aligned}$$

II. Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1) Module d’un nombre complexe

Définition

Le $\color{blue}\bf \text{module}$ de $z = a + i b$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Comme $z \times \bar z = (a+i b)(a-i b) = a^2+b^2$ alors le module vaut aussi $|z| = \sqrt{z\bar z}$.

Exemples : $\quad\bullet\quad|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

$\quad\bullet\quad|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\quad\bullet\quad|5-2i|=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{29}$.

$\quad\bullet\quad|-5|=5$

$\quad\bullet\quad|9i|=\sqrt{0^2+9^2}=\sqrt{81}=9$.

Proposition : Soit $n$ un entier relatif, pour tous $z$ et $z'$ nombres complexes on a :

• $|z^2|=z.\bar{z}$ et $|z|=|-z|=|\bar{z}|$
• $|z.z'|=|z|.|z'|$ et $|z^n|=|z|^n$
• $|\dfrac{z}{z'}|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ avec $z'\ne 0$
• $|z+z'|\le |z|+|z'|$

Exercice : Calculer le module de z dans les cas suivants:

$$a=3+i ~~~;; ~~~ b=\sqrt{2}-3i$$ $$c=\dfrac{1+\sqrt{2}i}{1-3i} ~~~ et ~~~ d=(1+2i)^3$$

Correction : $\begin{aligned} \quad \bullet\quad |a|&=|3+i|=\sqrt{3^2+1^2}\\&=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad \bullet\quad |b|&=|\sqrt{2}-3i |\\&=\sqrt{\sqrt{2}^2+(-3)^2}=\sqrt{11} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad \bullet\quad |c|&=\left|\dfrac{1+\sqrt{2}i}{1-3i}\right|=\dfrac{|1+\sqrt{2}i|}{|1-3i|} \\&=\dfrac{\sqrt{1^2+\sqrt{2}^2}}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \quad \bullet\quad |d| &=|(1+2i)^3|=|1+2i|^3 \\&=\sqrt{1^2+2^2}^3\\&=\sqrt{5}^3=5\sqrt{5} \end{aligned}$

2) Argument d’un nombre complexe non nul

Définition : Le plan complexe est rapporté un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$

Soit z un nombre complexe non nul et $M(z)$ son image.

On appelle argument du nombre complexe z, noté $arg(z)$, toute mesure en radians de l'angle orienté : $(\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OM}})$ et on écrit :

$$arg(z)\equiv (\overline{\vec{u},\overrightarrow{OM}})~ [2\pi]$$

Remarque : le complexe nul n'a pas d'argument

Exercice

Le plan complexe est menu d’un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$

on considère les points A ,B ,C ,D et E qui ont pour affixes :

$$z_A = 3 ~~~ , ~~ z_B = −2i ~~~, ~~ z_C = 1 + i$$ $$z_D = 3i ~~~ et ~~~ z_E = −3$$

1. Représenter les points A ,B ,C ,D et E dans Le plan complexe
2. on utilisant la représention déterminer l’argument des complexes : $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ , $z_D$ et $z_E$

Correction

1/

2/

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_A) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OA}})[2\pi] \\&\Longrightarrow arg(z_A) \equiv 0 [2\pi] \end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_B) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OB}})[2\pi] \\&\Longrightarrow arg(z_B) \equiv -\dfrac{\pi}{2} [2\pi] \end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_C) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OC}})[2\pi] \\&\Longrightarrow arg(z_C) \equiv \dfrac{\pi}{4} [2\pi] \end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_D) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OD}})[2\pi]\\ &\Longrightarrow arg(z_D) \equiv \dfrac{\pi}{2} [2\pi] \end{aligned}$

$\begin{aligned}\bullet\quad & arg(z_E) \equiv (\widehat{\vec{u},\overrightarrow{OE}})[2\pi] \\ &\Longrightarrow arg(z_E) \equiv \pi [2\pi] \end{aligned}$

---

Propriété Soient $z\in \mathbb{C}$ et $y\in \R$

• $z\in \R^*_- \Leftrightarrow arg(z) \equiv \pi [2\pi]$
• $z\in \R^*_+ \Leftrightarrow arg(z) \equiv 0 [2\pi]$
• $arg(iy) \equiv \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$ si $y>0$
• $arg(iy) \equiv -\dfrac{\pi}{2} [2\pi]$ si $y<0$

Propriété Soit z un nombre complexe non nul, on a :

• $arg(\bar{z}) \equiv -arg(z)~[2\pi]$
• $arg(-z) \equiv arg(z)~[2\pi]$
• $arg(-\bar{z}) \equiv \pi-arg(z)~[2\pi]$

3) Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul

soit $z = a+ bi$ un nombre complexe no nul.et $M(z)$ son image dans un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$

On a $arg(z) \equiv \theta [2\pi]$ et $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$$z=a+bi=|z|\left(\dfrac{a}{|z|}+\dfrac{b}{|z|}i\right)$$

et on a :

$$cos(\theta)=\dfrac{a}{|z|} ~~~~ et ~~~~ sin(\theta)=\dfrac{b}{|z|}$$

Donc :

$$z=|z|\left(cos(\theta)+i.sin(\theta)\right)$$

Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique du nombre complexe non nul z et on a : $arg(z)\equiv \theta ~[2\pi]$

---

Applicaation

Donner la forme trigonométrique du nombre complexe z dans les cas suivants :

$$z_1=\sqrt{3}+ i ~~ , ~~ z_2 = 1-i ~~$$ $$z_3 =-\sqrt{3}+i ~~ , ~~ z_4 =-2\sqrt{3} - 2i$$

Correction :

• La forme trigonométrique de $z_1=\sqrt{3}+ i$ ? $|z_1|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=2$ $\begin{aligned} z_1&=\sqrt{3}+ i=2\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right]\\ &=2\left[\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right] \end{aligned}$

• La forme trigonométrique de $z_2=1 - i$ ? $|z_2|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

  $\begin{aligned} z_2&=1-i=\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}})\\ &=\sqrt{2}\left[\cos(\dfrac{\pi}{4})-i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right] \\&=\sqrt{2}\left[\cos(-\dfrac{\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{\pi}{4})\right] \end{aligned}$

• La forme trigonométrique de $z_3=-\sqrt{3}+i$ ? $|z_3|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=2$

  $\begin{aligned} z_3&=-\sqrt{3}+i=2\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right]\\ &=2\left[-\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right] \\&=2\left[\cos(\pi-\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\pi-\dfrac{\pi}{6})\right] \\&=2\left[\cos(\dfrac{5\pi}{6})+i\sin(\dfrac{5\pi}{6})\right] \end{aligned}$

• La forme trigonométrique de $z_4=-2\sqrt{3} - 2i$ ? $|z_4|=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=4$

  $\begin{aligned} z_4&=-2\sqrt{3} - 2i\\\\ &=4\left[-\dfrac{2\sqrt{3}}{4}-i\dfrac{2}{4}\right]\\ \\&=4\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right] \\ \\&=4\left[-\cos(\dfrac{\pi}{6})-i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right] \\ \\&=4\left[\cos(\pi+\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\pi+\dfrac{\pi}{6})\right]\\\\ &=4\left[\cos(\dfrac{7\pi}{6})+i\sin(\dfrac{7\pi}{6})\right] \end{aligned}$

Propriété

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls, on a :

• $arg(z. z') \equiv arg(z)+arg(z')~[2\pi]$
• $arg(\dfrac{z}{z'}) \equiv arg(z)-arg(z')~[2\pi]$
• $arg(z^n) \equiv n.arg(z)~[2\pi]$

---

Exercice :

1. Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : $z_1=\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}\text{ et }z_2=(1+i)^3$

2. soient $z=1+i$ et $z'=\sqrt{3}-i$

   a. écrire $z$ et $z’$ sous forme trigonométrique

   b. écrire $z\times z'$ sous forme trigonométrique et algébrique

   c. déduire la valeur de $\cos(\dfrac{\pi}{12})$ et $\sin(\dfrac{\pi}{12})$

Correction :

1.

Forme trigo de $z_1=\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$ ?

$\quad\star |\sqrt{3}+i|=\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=2$ $\quad\star |1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$

Donc

$\begin{aligned} \sqrt{3}+i&=2\left(\frac{\sqrt3}2+\frac12i\right)\\ &=2\left(\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right)\\ 1-i&=\sqrt2\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\\ &=\sqrt2\left( \cos(\dfrac{-\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{\pi}{4}) \right) \end{aligned}$

et donc

$$\left\{ \begin{matrix} arg(\sqrt{3}+i)\equiv \dfrac{\pi}{6}[2\pi] \\\\ arg(1-i)\equiv -\dfrac{\pi}{4}[2\pi] \end{matrix} \right.$$

$|z_1|=\dfrac{|\sqrt3+i|}{|1-i|}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\\$

$\begin{aligned} \arg(z_1)&\equiv \arg\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}\right) ~ [2\pi] \\ &\equiv \arg(\sqrt{3}+i)-\arg(1-i) ~ [2\pi]\\ &\equiv \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4} ~~[2\pi]\\ &\equiv\dfrac{5\pi}{12}~~[2\pi] \end{aligned}$

Finalement :

$\begin{aligned} z_1&=|z_1|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\\ &=\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{5\pi}{12})+i\sin(\dfrac{5\pi}{12})\right) \end{aligned}$

---

Forme trigo de $z_2=(1+i)^3$ ?

$\begin{aligned} |z_2|&=|(1+i)^3|=|(1+i)|^3\\ &=\left(\sqrt{1^2+1^2}\right)^3\\ &=\sqrt{2}^3=2\sqrt{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \arg(z_2)&=\arg((1+i)^3) \\ &\equiv 3\arg(1+i) ~~[2\pi] \end{aligned}$

Cherchons $\arg(1+i)$

$\begin{aligned} 1+i&=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\ &=\sqrt{2}(\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})) \end{aligned}$

Donc $\arg(1+i)\equiv \dfrac{\pi}{4} ~~[2\pi]$

$\arg(z_2) \equiv \dfrac{3\pi}{4} ~~[2\pi]$

Finalement $\begin{aligned} z_2 &=|z_2|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\\ &=2\sqrt{2}(\cos(\dfrac{3\pi}{4})+i\sin(\dfrac{3\pi}{4})) \end{aligned}$

---

2/a/ Forme trigo de $z=1+i$ ?

$\begin{aligned} 1+i&=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})\\ &=\sqrt{2}(\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})) \end{aligned}$

---

Forme trigo de $z'=\sqrt{3}-i$ ?

$|z'|=|\sqrt{3}-i|=\sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2}=2$

$\begin{aligned} z'&=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right)\\ &=2\left(\cos(\dfrac{\pi}{6})-i\sin(\dfrac{\pi}{6})\right)\\ &=2\left(\cos(-\dfrac{\pi}{6})+i\sin(-\dfrac{\pi}{6})\right) \end{aligned}$

---

b/ Forme trigo de $z.z'$ ?

$z.z'=|z.z'|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ avec $\theta \equiv \arg(z.z') ~~[2\pi]$

On a $|z.z'|=|z|.|z'|=\sqrt{2}\times2=2\sqrt{2}$

et $\arg(z.z') \equiv \arg(z)+\arg(z') ~~[2\pi]$

$\arg(z.z') \equiv \dfrac{\pi}{4}+(-\dfrac{\pi}{6}) ~~[2\pi]$

Donc $\arg(z.z') \equiv \dfrac{\pi}{12} ~~[2\pi]$

$\begin{aligned} z.z'&=|z.z'|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\\ &=2\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{\pi}{12})+i\sin(\dfrac{\pi}{12})\right) \end{aligned}$

---

Forme algébrique de $z.z'$

$\begin{aligned} z.z'&=(1+i)(\sqrt{3}-i)\\ &=\sqrt{3}-i+i\sqrt{3}+1\\ &=\sqrt{3}+1+i(\sqrt{3}-1) \end{aligned}$

---

c/

On a

$$z.z'=2\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{\pi}{12})+i\sin(\dfrac{\pi}{12})\right)$$

et

$$\begin{align*} z.z'&=\sqrt{3}+1+i(\sqrt{3}-1) \\ &=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}+i\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right) \\ &=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+i\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) \end{align*}$$

Donc :

$$\left\{ \begin{matrix} \cos(\dfrac{\pi}{12})= \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\\\ \sin(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{matrix} \right.$$

III. Angle de deux vecteurs

Propriété : Soient A,B deux points du plan complexe (P), d’affixes respectivement $z_A$ et $z_B$

$$(\vec{u},\overrightarrow{AB}) \equiv arg(z_B-z_A)~[2\pi]$$

Preuve Par définition de l'argument

Propriété : Soient A,B,C et D quatre points du plan complexe (P), d’affixes respectivement $z_A$ , $z_B$ ,$z_c$ et $z_D$ avec $z_B\ne z_A$

• $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \equiv arg(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A})~[2\pi]$
• $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) \equiv arg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A})~[2\pi]$

Preuve

En utilisant la relation de Chasles

$$\begin{align*} (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) &= (\overrightarrow{AB},\vec{u})+(\vec{u},\overrightarrow{AC}) \\ &= (\vec{u},\overrightarrow{AC})-(\vec{u},\overrightarrow{AB}) \\ &= arg(z_{\overrightarrow{AC}})-arg(z_{\overrightarrow{AB}})\\ &\equiv arg(z_C-z_A)-arg(z_B-z_A)~[2\pi] \end{align*}$$

Alors :

$$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \equiv arg(\dfrac{z_C-z_C}{z_B-z_A})~[2\pi]$$

Conséquences :

• les points A,B et C sont alignés si et seulement si, on a :

$$arg(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A})\equiv 0~[2\pi] ~~~ou ~~~arg(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A})\equiv \pi~[2\pi]$$

• les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si , on a :

$$arg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A})\equiv 0~[2\pi] ~~~ou ~~~arg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A})\equiv \pi~[2\pi]$$

• les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires si et seulement si, on a :

$$arg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A})\equiv \dfrac{\pi}{2}~[2\pi] ~~~ou ~~~arg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A})\equiv -\dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$$

Exercice : Soient A,B et C trois points d’affixes respectivement : $a=2+2i\sqrt{3}$ et $b=-4+4i\sqrt{3}$ et $c=-1+i\sqrt{3}$

1. Déterminer l'argument de $\dfrac{b-c}{a-c}$
2. Déduire que $(AC)\perp (BC)$

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Correction :

1/

$$\begin{align*} \dfrac{b-c}{a-c}&= \dfrac{-4+4i\sqrt{3}+1-i\sqrt{3}}{2+2i\sqrt{3}+1-i\sqrt{3}} \\ &=\dfrac{-3+3i\sqrt{3}}{3+i\sqrt{3}} \\ &=\dfrac{(-3+3i\sqrt{3})(3-i\sqrt{3})}{(3+i\sqrt{3})(3-i\sqrt{3})} \\ &=\dfrac{-9+3i\sqrt{3}+9i\sqrt{3}+9}{3^2+\sqrt{3}^2} \\ &=i\sqrt{3} \end{align*}$$

Donc : $\arg(\dfrac{b-c}{a-c})\equiv \dfrac{\pi}{2} ~~[2\pi]$

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2/ $\quad (AC)\perp (BC)$ ?

$$(\widehat{\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}}) \equiv \arg(\dfrac{b-c}{a-c}) ~~[2\pi]$$ $$(\widehat{\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}}) \equiv \dfrac{\pi}{2} ~~[2\pi]$$

Donc $(AC)\perp (BC)$

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Exercice (Nat 2013 S.O) : On considère dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d'affixes respectives : $a=7+2i$ , $b=4+8i$ , $c=-2+5i$ et $d=10+11i$

1. Calculer $\dfrac{d-c}{b-c}$ puis déduire que les points $B$ , $C$ et $D$ sont alignés.
2. a. vérifie que $(1+i)(-3+6i)=-9+3i$, puis montrer que $\dfrac{c-a}{b-a}=1+i$ b. Ecrire le nombre $1+i$ sous forme trigonométrique. c. En déduire que $AC=AB\sqrt{2}$; et donner une mesure de l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}$

Correction : $A(a)$ , $B(b)$ , $C(c)$ et $D(d)$ avec : $a=7+2i$ , $b=4+8i$ , $c=-2+5i$ et $d=10+11i$

1/

$\begin{aligned} \dfrac{d-c}{b-c}&=\dfrac{10+11i-(-2+5i)}{4+8i-(-2+5i)}\\ &=\dfrac{12+6i}{6+3i}=\dfrac{6(2+i)}{3(2+i)}=2 \end{aligned}$

Comme $\dfrac{d-c}{b-c}=2\in\R$ , alors les points $B$ , $C$ et $D$ sont alignés.

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2/a/

$\begin{aligned} (1+i)(-3+6i)&=-3+6i-3i+6i^2\\&=-3+3i-6\\ &=-9+3i \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{c-a}{b-a}&=\dfrac{-2+5i-(7+2i)}{4+8i-(7+2i)}\\ &=\dfrac{-9+3i}{-3+6i}\\ &=\dfrac{(1+i)(-3+6i)}{-3+6i}\\ &=1+i \end{aligned}$

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b/ Forme trigo de $1+i$

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\begin{aligned} 1+i&=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ &=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\&=\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right) \end{aligned}$

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c/

On a : $\dfrac{c-a}{b-a}=1+i$

$\implies |\dfrac{c-a}{b-a}|=|1+i|=\sqrt{2}$

$\implies \dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}$ ,

et donc $AC=AB\sqrt{2}$

• On a :

$\arg(\dfrac{c-a}{b-a})=\arg(1+i) \equiv \dfrac{\pi}{4} ~~[2\pi]$

Comme $(\overline{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}) \equiv \arg(\dfrac{c-a}{b-a}) ~~[2\pi]$

Alors :$\dfrac\pi4$ est une meseure de l'angle orienté $(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})$

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Exercice :

Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe $z$ tel que : $|z|=2 \quad \text{et} \quad \arg(iz)\equiv \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$

Correction : La forme trigonométrique de $z$ tel que : $|z|=2 \quad \text{et} \quad \arg(iz)\equiv \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$

On sait que $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ avec $\theta \equiv \arg(z) ~~[2\pi]$

On a : $\arg(iz)\equiv \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$ et $\arg(iz)\equiv \arg(i)+\arg(z)~~[2\pi]$

Donc $\arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{4}-\arg(i)~~[2\pi]$

Donc $\arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}~~[2\pi]$

Donc $\arg(z) \equiv -\dfrac{\pi}{4} ~~[2\pi]$

Finalement la forme trigonométrique de $z$ est :

$$z=2(\cos(-\dfrac{\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{\pi}{4}))$$