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Continuité d'une foonction numériqueThéorème des valeurs intermédiairesIntroductionFonctions réciproquesPuissance rationnelle d’un nombre réel positif

I. Définition et propriétés

Activité

Soient ff la fonction définie sur I=[1,+∞[I = [1, +\infty[ par f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1}
et gg la fonction définie sur J=[0,+∞[J = [0, +\infty[ par g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1.

  1. Remplir le tableau suivant :
g(1)=g(1) = f(2)=f(2) =
g(3)=g(3) = f(10)=f(10) =
g(5)=g(5) = f(26)=f(26) =
g(2)=g(\sqrt{2}) = f(3)=f(3) =

On donne (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) les courbes représentatives de ff et gg respectivement,
et (Δ)(\Delta) la droite d'équation y=xy = x.

2469161351016(Cg)(Cf)(Δ)

  1. Que remarquez-vous sur les courbes (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) ?

  2. Déterminer la monotonie de chaque fonction.

  3. Montrer que f(I)=Jf(I) = J.

  4. Montrer que ∀x∈I, f∘g(x)=x\forall x \in I,\ f \circ g(x) = x.

  5. Soit x∈Jx \in J. Déterminer g∘f(x)g \circ f(x).

Correction

  1. g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 ; f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x - 1}
g(1)=2g(1) = 2f(2)=1f(2) = 1
g(3)=10g(3) = 10f(10)=3f(10) = 3
g(5)=26g(5) = 26f(26)=5f(26) = 5
g(2)=3g(\sqrt{2}) = 3f(3)=2f(3) = \sqrt{2}

  1. Les courbes (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) sont symétriques par rapport à la droite (Δ)(\Delta).

  2. Les deux fonctions ont la même monotonie :

  • ff est strictement croissante sur [1,+∞[[1, +\infty[
  • gg est strictement croissante sur [0,+∞[[0, +\infty[

  1. f(I)=f([1,+∞[)=[1−1,lim⁡x→+∞x−1[=[0,+∞[=Jf(I) = f\left([1, +\infty[\right) = \left[\sqrt{1 - 1}, \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x - 1} \right[ = [0, +\infty[ = J

  2. Soit x∈Ix \in I :

f∘g(x)=f(g(x))=f(x2+1)=x2+1−1=x2=∣x∣=xf \circ g(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = \sqrt{x^2 + 1 - 1} = \sqrt{x^2} = |x| = x

(puisque x∈[1,+∞[x \in [1, +\infty[)

  1. Soit x∈Jx \in J :
g∘f(x)=g(f(x))=g(x−1)=(x−1)2+1=x−1+1=xg \circ f(x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x - 1}) = (\sqrt{x - 1})^2 + 1 = x - 1 + 1 = x

Proposition

Si ff est continue et strictement monotone sur un intervalle II, alors ff admet une fonction réciproque, notée f−1f^{-1}, définie de J=f(I)J = f(I) vers II telle que :

{f(x)=yx∈I, y∈J  ⟺  {f−1(y)=xx∈I, y∈J\left\{ \begin{array}{ll} f(x) = y \\ x \in I,\ y \in J \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{ll} f^{-1}(y) = x \\ x \in I,\ y \in J \end{array} \right.

Corollaire

  • ∀x∈I:(f−1∘f)(x)=x\forall x \in I :\quad (f^{-1} \circ f)(x) = x
  • ∀x∈J:(f∘f−1)(x)=x\forall x \in J :\quad (f \circ f^{-1})(x) = x

Proposition

Soit ff une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle II, f−1f^{-1} sa fonction réciproque. On a :

  • f−1f^{-1} est une fonction continue, strictement monotone sur f(I)f(I), et a la même monotonie que ff sur II.
  • La courbe (Cf−1)(C_{f^{-1}}) de la fonction f−1f^{-1} est symétrique à la courbe (Cf)(C_f) de la fonction ff par rapport à la première bissectrice (la droite d’équation y=xy = x) dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).

Exemple

Voir l'activité précédente.

II. Applications : Fonction racine n-ième

Définition

Soit nn un entier naturel non nul.
La fonction réciproque de la fonction définie sur [0,+∞[[0,+\infty[ par : x↦xnx \mapsto x^n, est appelée la fonction racine n-ième, et on la note par : x↦xnx \mapsto \sqrt[n]{x}.

i) On note l’image de xx par : xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}
ii) Le nombre xn\sqrt[n]{x} est appelé la racine n-ième de xx.

Propriétés

  1. La fonction x↦xnx \mapsto \sqrt[n]{x} est continue et strictement croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[,
    et on a : lim⁡x→+∞xn=+∞\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty
  2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), la courbe de la fonction x↦xnx \mapsto \sqrt[n]{x} est symétrique à celle de x↦xnx \mapsto x^n par rapport à la première bissectrice (y=xy=x).
  3. Pour aa et bb deux réels positifs, on a : abn=anbnetabn=anbn\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} \quad \text{et} \quad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} ann=a;amnm=an;amn=anm\sqrt[n]{a^n} = a \quad ; \quad \sqrt[nm]{a^m} = \sqrt[n]{a} \quad ; \quad \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}

Exercice

  1. Simplifier :

    a=273  ;  b=164  ;  c=2435a = \sqrt[3]{27}~~;~~ b = \sqrt[4]{16}~~ ; ~~c = \sqrt[5]{243} d=3515×93×(95)235d = \dfrac{\sqrt[15]{3^5} \times \sqrt[3]{9} \times \left( \sqrt[5]{9} \right)^2}{\sqrt[5]{3}}

  2. Rendre rationnels les dénominateurs suivants :

    a=133−23  ;  b=223+1a = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}~~; ~~ b = \dfrac{2}{\sqrt[3]{2} + 1}

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation suivante :

    (E)2x−43=2(E) \quad \sqrt[3]{2x - 4} = 2

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation suivante :

    x−35≤2\sqrt[5]{x - 3} \le 2

  5. Calculer les limites suivantes :

    lim⁡x→+∞(x+13−x3)etlim⁡x→+∞x+13−1x\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \right) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{x}

Correction

1.

  • a=273=3a = \sqrt[3]{27} = 3
  • b=164=2b = \sqrt[4]{16} = 2
  • c=2435=3c = \sqrt[5]{243} = 3
  • d=3515⋅93⋅(95)235d = \dfrac{\sqrt[15]{3^5} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \left( \sqrt[5]{9} \right)^2}{\sqrt[5]{3}}
       =273⋅275=3275~~~= \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[5]{27} = 3 \sqrt[5]{27}

2.

  • Rappels : a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) a=133−23 =93+63+431=93+63+43\begin{align*} a &= \frac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} \\~\\ &= \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{1} \\ &= \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} \end{align*} b=223+1 =2(43−23+1)3\begin{align*} b &= \frac{2}{\sqrt[3]{2} + 1} \\~\\&= \frac{2(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1)}{3} \end{align*}

3.

  • (E):2x−43=2(E) : \sqrt[3]{2x - 4} = 2

    L'équation est bien définie si

    2x−4≥0  ⟺  x≥22x-4\ge0 \iff x\ge2

    Domaine : x≥2x \ge 2

    Soit x∈[2; +∞[x\in[2; \ +\infty[

    2x−43=2  ⟺  2x−4=8  ⟺  x=6\begin{align*} \sqrt[3]{2x - 4} = 2 &\iff 2x - 4 = 8 \\&\iff x = 6 \end{align*}

    Donc, solution : x=6x = 6

4.

  • Domaine : x≥3x \ge 3 x−35≤2  ⟺  x−3≤32  ⟺  x≤35\begin{align*} \sqrt[5]{x - 3} \le 2 &\iff x - 3 \le 32 \\&\iff x \le 35 \end{align*} Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation est : S=[3,35]S = [3, 35]

5.

En multipliant numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée cubique

∙ lim⁡x→+∞x+13−x3=lim⁡x→+∞(x+13−x3)(x+132+x+13x3+x32)x+132+x+13x3+x32=lim⁡x→+∞x+133−x33(x+1)23+x(x+1)3+x23=lim⁡x→+∞1(x+1)23+x(x+1)3+x23=0\begin{align*} \bullet~\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x}\right)\left(\sqrt[3]{x+1}^2 + \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}^2\right)}{\sqrt[3]{x+1}^2 + \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}^2} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x+1}^3 - \sqrt[3]{x}^3}{\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x(x+1)} + \sqrt[3]{x^2}} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x(x+1)} + \sqrt[3]{x^2}} \\ &= 0 \end{align*}

car

lim⁡x→+∞(x+1)23=lim⁡x→+∞x(x+1)3=lim⁡x→+∞x23=+∞\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{(x+1)^2} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x(x+1)} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2} = +\infty ∙ lim⁡x→+∞x+13−1x=lim⁡x→+∞(x+13−1)(x+132+x+13+1)x(x+132+x+13+1)=lim⁡x→+∞x+133−13x((x+1)23+x+13+1)=lim⁡x→+∞1(x+1)23+x+13+1=0\begin{align*} \bullet~\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x+1} - 1}{x} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\sqrt[3]{x+1} - 1\right)\left(\sqrt[3]{x+1}^2 + \sqrt[3]{x+1} + 1\right)}{x\left(\sqrt[3]{x+1}^2 + \sqrt[3]{x+1} + 1\right)} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x+1}^3 - 1^3}{x\left(\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x+1} + 1\right)} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2} + \sqrt[3]{x+1} + 1} \\ &= 0 \end{align*}

car

lim⁡x→+∞x+13=lim⁡x→+∞(x+1)23=+∞\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{(x+1)^2} = +\infty