📑 Parties du cours▼
Intégration d'une fonction continueIntégral et règles de calculsIntégrales et ordreLa valeur de moyenne d'une fonctionIntégration par partiesIntégrale , surface et volume📌 Résumé, IntégrationCalcul intégralIntroduction

I. Intégration d'une fonction continue

Activité

Le plan est muni d’un repère orthonormé \rep, (∥i∥=∥j∥=1cm\|i\|=\|j\|=1cm)

On considère la fonction ff définie sur R\R par : f(x)=2f(x)=2 et on note (C)(C) sa courbe représentative.

Soit RR la partie du plan limitée par (C)(C) , l’axe des abscisses , et les droites d’équations : x=−1x = −1 et x=2x = 2.

  1. Calculer l’aire AA en cm2cm² de RR.
  2. Déterminer une primitive FF de ff sur R\R et calculer F(2)−F(−1)F(2) - F(-1).
  3. Déterminer une autre primitive GG de ff sur R\R et calculer G(2)−G(−1)G(2) - G(-1).
dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3xyO⃗j⃗i(C)x=−1x=2
  1. L'aire de la partie RR est : A=3×2=6cm2A=3\times2=6cm^2
  2. Les fonctions primites de ff sur R\R sont de la formes : x↦2x+c  avec  c∈Rx\mapsto 2x+c~~ avec ~~ c\in\R Prenons par exemple : F:x↦2x+1F:x\mapsto2x+1 F(2)−F(−1)=2×2+1−(2×(−1)+1)=6\begin{align*} F(2)-F(-1)&=2\times2+1-(2\times(-1)+1)\\&=6 \end{align*}
  3. Prenons par exemple : G:x↦2x−2G:x\mapsto2x-2 G(2)−G(−1)=2×2−2−(2×−1−2)=6\begin{align*} G(2)-G(-1)&=2\times2-2-(2\times-1-2)\\ &=6 \end{align*}

Définition

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II, aa et bb deux éléments de II ; et FF une fonction primitive de ff sur II.

Le nombre F(b)−F(a)F(b)-F(a) s’appelle l’intégrale de la fonction ff entre aa et bb on écrit :

∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]^{b}_a=F(b)-F(a)

Remarque

Dans l’écriture :

∫abf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]^{a}_b=F(b)-F(a)

la variable xx s’appelle une variable muette c-à-d :

∫abf(x)dx=∫abf(t)dt=∫abf(s)ds=F(b)−F(a)\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)dx &=\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(s)ds\\ &=F(b)-F(a) \end{align*}

Propriété

Toute fonction continue sur [a,b][a, b] est intégrable sur [a,b][a, b] c’est-à-dire l'intégral :

∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]^{b}_a=F(b)-F(a)

existe et finie

Application 1

Calculer les intégrales suivantes :

∫122xdx  ;;  ∫ee21tdt  ;;  ∫0π6cos(2θ)dθ\int_{1}^{2}2xdx~~;; ~~\int_{e}^{e^2}\dfrac1t dt~~;; ~~\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}cos(2\theta)d\theta
  • Calculons l'intégrale ∫122x dx\int_{1}^{2} 2x \, dx:
∫122x dx=[x2]12=22−12=4−1=3\begin{align*} \int_{1}^{2} 2x \, dx &= \left[ x^2 \right]_{1}^{2} = 2^2 - 1^2 \\&= 4 - 1 = 3 \end{align*}

Donc,

∫122x dx=3\boxed{\int_{1}^{2} 2x \, dx = 3}
  • Calculons l'intégrale ∫ee21t dt\int_{e}^{e^2} \dfrac{1}{t} \, dt:
∫ee21t dt=[ln⁡∣t∣]ee2=ln⁡∣e2∣−ln⁡∣e∣=2−1=1\begin{align*} \int_{e}^{e^2} \dfrac{1}{t} \, dt &= \left[ \ln |t| \right]_{e}^{e^2} = \ln |e^2| - \ln |e| \\ &= 2 - 1 = 1 \end{align*}

Donc,

∫ee21t dt=1\boxed{\int_{e}^{e^2} \dfrac{1}{t} \, dt = 1}
  • Calculons l'intégrale ∫0π6cos⁡(2θ) dθ\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \cos(2\theta) \, d\theta:
∫0π6cos⁡(2θ) dθ=[sin⁡(2θ)2]0π6=sin⁡(π3)2−sin⁡(0)2=322−0=34\begin{align*} \int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \cos(2\theta) \, d\theta &= \left[ \dfrac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \\ &= \dfrac{\sin(\dfrac{\pi}{3})}{2} - \dfrac{\sin(0)}{2} \\&= \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2} - 0 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \end{align*}

Donc,

∫0π6cos⁡(2θ) dθ=34\boxed{ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}} \cos(2\theta) \, d\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{4}}

II. Intégral et règles de calculs

Propriété

Soient ff et gg deux fonctions continues sur un intervalle II, a,b,c∈Ia, b, c \in I, et α∈R\alpha \in \mathbb{R}. Alors :

  • ∫aaf(x) dx=0\displaystyle \int_{a}^{a} f(x)~dx = 0

  • ∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)~dx = -\int_{b}^{a} f(x)~dx

  • Relation de Chasles :

∙∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx=∫abf(x) dx\bullet\quad \begin{aligned} \int_{a}^{c} f(x)~dx + \int_{c}^{b} f(x)~dx = \int_{a}^{b} f(x)~dx \end{aligned}
  • Linéarité
∙∫ab(f(x)+g(x)) dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\bullet\quad \displaystyle \int_{a}^{b} \big(f(x) + g(x)\big)~dx = \int_{a}^{b} f(x)~dx + \int_{a}^{b} g(x)~dx
  • ∫abαf(x) dx=α∫abf(x) dx\displaystyle \int_{a}^{b} \alpha f(x)~dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)~dx

Application 2

  1. Calculer les intégrales suivantes : ∫03∣x−2∣dx \displaystyle\int_{0}^{3}|x-2|dx~ ;;  ∫−12∣x(x−1)∣dx~\displaystyle\int_{-1}^{2}|x(x-1)|dx

  2. On pose : I=∫0π4cos2(x)dxI=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac\pi4}cos^2(x)dx et J=∫0π4sin2(x)dxJ=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac\pi4}sin^2(x)dx

    a) Calculer I+JI+J et I−JI-J

    b) En déduire II et JJ

1/

∙\bullet \quad Calcul de ∫03∣x−2∣dx\displaystyle\int_{0}^{3}|x-2|dx on a :

x023x−2−0+\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & 2 & & 3 \\ \hline x - 2 & & - & 0 & + &\\ \hline \end{array} ∫03∣x−2∣ dx=∫02∣x−2∣ dx+∫23∣x−2∣ dx=−∫02(x−2) dx+∫23(x−2) dx\begin{align*} \int_{0}^{3}|x-2|\,dx&= \int_{0}^{2}|x-2|\,dx + \int_{2}^{3}|x-2|\,dx \\ &= -\int_{0}^{2}(x-2)\,dx + \int_{2}^{3}(x-2)\,dx \end{align*}

on a :

  • ∫02(x−2) dx=[x22−2x]02=−2\displaystyle\int_{0}^{2}(x-2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}2-2x\right]_0^2=-2
  • ∫23(x−2) dx=[x22−2x]23=12\displaystyle\int_{2}^{3}(x-2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}2-2x\right]_2^3=\dfrac12

Donc : ∫03∣x−2∣ dx=52\boxed{\displaystyle\int_{0}^{3}|x-2|\,dx=\dfrac52}

∙\bullet \quad Calcul de ∫−12∣x(x−1)∣ dx\displaystyle\int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx :

On a x(x−1)=0  ⟺  x=0x(x-1) = 0 \iff x = 0 ou x=1x = 1.

x−1012x(x−1)+0−0+\begin{array}{c|ccccccc} x & -1 & & 0 & & 1 & & 2 \\ \hline x(x-1) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}

Donc :

∫−12∣x(x−1)∣ dx={+∫−10x(x−1) dx −∫01x(x−1) dx +∫12x(x−1) dx\begin{align*} \int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx &= \begin{cases} +\displaystyle\int_{-1}^{0}x(x-1)\,dx \\~\\ \displaystyle- \int_{0}^{1}x(x-1)\,dx \\~\\ \displaystyle+ \int_{1}^{2}x(x-1)\,dx \end{cases} \end{align*}
∫−12∣x(x−1)∣ dx=∫−10x(x−1) dx−∫01x(x−1) dx+∫12x(x−1) dx\begin{align*} \int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx &=\int_{-1}^{0}x(x-1)\,dx - \int_{0}^{1}x(x-1)\,dx + \int_{1}^{2}x(x-1)\,dx \end{align*}

puisque : x(x−1)=x2−xx(x-1)=x^2-x alors :

∙∫−10x(x−1) dx=[x33−x22]−10=56\bullet\displaystyle\int_{-1}^{0}x(x-1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2\right]_{-1}^0=\dfrac56

∙∫01x(x−1) dx=[x33−x22]01=−16\bullet\displaystyle\int_{0}^{1}x(x-1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2\right]_{0}^1=-\dfrac16

∙∫12x(x−1) dx=[x33−x22]12=56\bullet\displaystyle\int_{1}^{2}x(x-1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^2}2\right]_{1}^2=\dfrac56

Donc :

∫−12∣x(x−1)∣ dx=56+16+56\int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx =\dfrac56+\dfrac16+\dfrac56

et donc :

∫−12∣x(x−1)∣ dx=116\boxed{\int_{-1}^{2}|x(x-1)|\,dx=\dfrac{11}6}

2/

a/\quad Calcul de I+JI + J et I−JI - J :

I+J=∫0π4(cos⁡2(x)+sin⁡2(x)) dx=∫0π41 dx=[x]0π4=π4\begin{align*} I + J &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} (\cos^2(x) + \sin^2(x)) \, dx \\ &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\pi}{4} \end{align*} I−J=∫0π4(cos⁡2(x)−sin⁡2(x)) dx=∫0π4cos⁡(2x) dx=[sin⁡(2x)2]0π4=12−0=12\begin{align*} I - J &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \, dx \\ &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \left[ \dfrac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\dfrac{\pi}{4}} \\ &= \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2} \end{align*}

b/\quad Détermination de II et JJ :

{I+J=π4I−J=12  ⟹  {I=π+28J=π−28\begin{cases} I + J = \dfrac{\pi}{4} \\ I - J = \dfrac{1}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} I = \dfrac{\pi + 2}{8} \\ J = \dfrac{\pi - 2}{8} \end{cases}

Ainsi, les valeurs sont :

I=π+28,J=π−28I = \dfrac{\pi + 2}{8}, \quad J = \dfrac{\pi - 2}{8}

III. Intégrales et ordre

Propriété

Soient ff et gg deux fonctions continues sur un intervalle II et a,b∈Ia,b\in I avec a≤ba\le b

  • Si ff est positive sur [a;b][a ; b], alors
∫abf(x)dx≥0\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \ge 0
  • Si ∀x∈[a;b]  f(x)≤g(x)\forall x\in[a ; b]~~f(x)\le g(x), alors
∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \le \int_{a}^{b}g(x)dx
  • ∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx\displaystyle\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right| \le \int_{a}^{b}|f(x)|dx

Remarque

Les réciproques de chacun des points 1 et 2 de la propriété précédente sont fausses.

Par exemple :

  • on a ∫−122xdx=[x2]−12=3\displaystyle\int_{-1}^{2}2xdx=\left[x^2\right]^{2}_{-1}=3 mais la fonction x↦2xx\mapsto 2x n’est pas positive sur [−1,2][-1,2]
  • De même : ∫021dx≤∫02x2dx\int_{0}^{2}1dx\le \int_{0}^{2}x^2dx car : ∫021dx=2 et ∫02x2dx=[x33]02=83\int_{0}^{2}1dx=2\text{ et } \int_{0}^{2}x^2dx=\left[\frac{x^3}{3} \right]^2_0=\frac83 mais x2x^2 n’est pas toujours supérieure à 11 sur [0;2][0 ; 2].

Application 3

Montrer que 1e≤∫01e−x2dx≤1\displaystyle\frac1e\le\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx\le1

0≤x≤1  ⟹  0≤x2≤1  ⟹  −1≤−x2≤0\begin{align*} 0\le x\le 1 &\implies 0\le x^2\le 1\\ &\implies -1\le -x^2\le 0 \end{align*}

et puisque la fonction x↦exx\mapsto e^x est croissante alors :

e−1≤e−x2≤e0e^{-1}\le e^{-x^2}\le e^0

Donc

∫01e−1dx≤∫01e−x2dx≤∫01e0dx\int_{0}^{1}e^{-1}dx \le \int_{0}^{1}e^{-x^2}dx \le \int_{0}^{1}e^0dx e−1∫011dx≤∫01e−x2dx≤∫011dxe^{-1}\int_{0}^{1} 1dx \le \int_{0}^{1}e^{-x^2}dx \le \int_{0}^{1}1dx

et on a : ∫011dx=[x]01=1\displaystyle\int_{0}^{1} 1dx=[x]^1_0=1

Alors

1e≤∫01e−x2dx≤1\frac1e\le\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx\le1

VI. La valeur de moyenne

Théorème et définition

Si ff est une fonction continues sur un intervalle [a,b][a,b], alors il existe au moins un réel cc dans [a;b][a ; b]. tel que :

f(c)=1b−a∫abf(x)dxf(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx
  • 1b−a∫abf(x)dx\displaystyle\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \quad : s’appelle la valeur moyenne de ff sur [a;b][a ; b]

Application 4

On considére la fonction numérique définie sur R−{−1}\R-\{-1\} par: f(x)=11+xf(x)=\dfrac{1}{1+x}

Déterminer, la valeur moyenne de ff sur [0;e2−1][0;e^2-1]

La formule de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a,b][a, b] :

Valeur moyenne=1b−a∫abf(x) dx\text{Valeur moyenne} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Ici, a=0a = 0 et b=e2−1b = e^2 - 1 et b−a=e2−1b-a=e^2-1

Donc, nous devons calculer :

Valeur moyenne=1e2−1∫0e2−111+x dx\text{Valeur moyenne} = \frac{1}{e^2 - 1} \int_{0}^{e^2 - 1} \frac{1}{1+x} \, dx ∫0e2−111+x dx=[ln⁡∣1+x∣]0e2−1=ln⁡∣1+e2−1∣=ln⁡∣e2∣−ln⁡∣1∣=ln⁡(e2)=2ln⁡(e)=2\begin{align*} \int_{0}^{e^2 - 1} \frac{1}{1+x} \, dx &= \left[ \ln|1+x| \right]_{0}^{e^2 - 1} \\ & = \ln|1 + e^2 - 1| \\ & = \ln|e^2| - \ln|1| \\ & = \ln(e^2)= 2 \ln(e) \\ & = 2 \end{align*} Valeur moyenne=1e2−1⋅2=2e2−1\text{Valeur moyenne} = \frac{1}{e^2 - 1} \cdot 2= \frac{2}{e^2 - 1}

Par conséquent, la valeur moyenne de f(x)=11+xf(x) = \dfrac{1}{1+x} sur l'intervalle [0;e2−1][0; e^2 - 1] est 2e2−1\dfrac{2}{e^2 - 1}.

V. Intégration par parties

Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II, et supposons que u′u' et v′v' soient continues sur II. Soient aa et bb deux éléments de II. On a, pour tout x∈Ix \in I, la relation :

(u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

Cela nous permet d'exprimer u⋅v′u \cdot v' sous la forme :

u⋅v′=(u⋅v)′−u′⋅vu \cdot v' = (u \cdot v)' - u' \cdot v

En appliquant l'intégrale à cette expression, on obtient :

∫u⋅v′ dx=∫(u⋅v)′ dx−∫u′⋅v dx\int u \cdot v' \, dx = \int (u \cdot v)' \, dx - \int u' \cdot v \, dx

Alors, on arrive à la formule d'intégration par parties :

∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx

Cette égalité est appelée intégration par parties.

Application 5

En utilisant une intégration par parties calculer :

I=∫0πx.sin(x)dxI=\int_{0}^{\pi}x.sin(x)dx J=∫1eln(x)dxJ=\int_{1}^{e}ln(x)dx K=∫01(x−1)e−xdxK=\int_{0}^{1}(x-1)e^{-x}dx
  • Calcul de II :
I=∫0πxsin⁡(x) dx Choisissons u=x et v′=sin⁡(x)  ⟹  u′=1,v=−cos⁡(x) I=[−xcos⁡(x)]0π+∫0πcos⁡(x) dx=[−πcos⁡(π)+0cos⁡(0)]+[sin⁡(x)]0π=π+(0−0)=π\begin{align*} I &= \int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx \\~\\ &\text{Choisissons } u = x \text{ et } v' = \sin(x) \\ &\implies u' = 1, \quad v = -\cos(x) \\~\\ I&= \left[ -x \cos(x) \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx \\ &= [-\pi \cos(\pi) + 0 \cos(0)] + [\sin(x)]_{0}^{\pi} \\ &= \pi + (0 - 0) \\ &= \pi \end{align*}
  • Calcul de JJ :
J=∫1eln⁡(x) dx Choisissons u=ln⁡(x) et v′=1  ⟹  u′=1x,v=x J=[xln⁡(x)]1e−∫1ex⋅1x dx=[eln⁡(e)−1ln⁡(1)]−[x]1e=e−0−(e−1)=1\begin{align*} J &= \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx \\~\\ &\text{Choisissons } u = \ln(x) \text{ et } v' = 1 \\ &\implies u' = \frac{1}{x} , \quad v = x \\~\\ J&= \left[ x \ln(x) \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= [e \ln(e) - 1 \ln(1)] - [x]_{1}^{e} \\ &= e - 0 - (e - 1) \\ &= 1 \end{align*}
  • Calcul de KK :
K=∫01(x−1)e−x dx Choisissons u=x−1 et v′=e−x  ⟹  u′=1,v=−e−x =[(x−1)(−e−x)]01+∫01(−e−x) dx=[−e−1+e−0]+[−e−x]01=[−e−1+1]−(−e−1+1)=1+e−1\begin{align*} K &= \int_{0}^{1} (x-1) e^{-x} \, dx \\~\\ &\text{Choisissons } u = x-1 \text{ et } v' = e^{-x} \\ &\implies u' = 1, \quad v = -e^{-x} \\~\\ &= \left[ (x-1)(-e^{-x}) \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (-e^{-x}) \, dx \\ &= [-e^{-1} + e^{-0}] + \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} \\ &= [-e^{-1} + 1] - (-e^{-1} + 1) \\ &= 1 + e^{-1} \end{align*}

VI. Intégrale et surface

Propriété

Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a;b][a ; b] et (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,u⃗,v⃗)(O,\vec{u},\vec{v})

L’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe (Cf)(C_f), l’axe des abscisses et les droites d’équations : x=ax = a et x=bx = b est :

A=∫ab∣f(x)∣dx.∥i⃗∥.∥j⃗∥\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx .\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|
dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdef dvisvgm:rawput 3 y=f(x)xyy=f(x)ab

Remarques :

  • si ff une fonction continue et positif sur un intervalle [a;b][a ; b], c-à-d : sa courbe est au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle [a,b][a,b], alors :
A=∫abf(x)dx..∥i⃗∥.∥j⃗∥\mathcal{A}=\int_{a}^{b}f(x)dx ..\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|
dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3Ay=f(x)xyO⃗i⃗jaab
  • si ff une fonction continue et négatif sur un intervalle [a;b][a ; b] alors
A=−∫abf(x)dx..∥i⃗∥.∥j⃗∥\mathcal{A}=-\int_{a}^{b}f(x)dx ..\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|
dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3Ay=f(x)xyO⃗i⃗jaab

Application 6

Soit ff la fonction définie par : f(x)=−x2+2xf(x)=-x^2+2x

(Cf)(C_f) sa courbe dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) avec (∥i⃗∥=2cm\|\vec{i}\|=2cm et ∥j⃗∥=2cm\|\vec{j}\|=2cm) Calculer l'aire u domaine situé entre la courbe (Cf)(C_f), l’axe des abscisses et les droites d’équations : x=0x = 0 et x=3x = 3

L’aire du domaine situé entre la courbe (Cf)(C_f), l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0x = 0 et x=3x = 3 est :

A=∫03∣f(x)∣dx.∥i⃗∥.∥j⃗∥=4∫03∣f(x)∣dx⋅cm2\mathcal{A}=\int_{0}^{3}\left|f(x)\right|dx .\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\| =4\int_{0}^{3}\left|f(x)\right|dx\cdot cm^2
dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3y=f(x)dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 33O⃗i⃗j2
∫03∣f(x)∣dx=∫02∣f(x)∣dx+∫23∣f(x)∣dx=∫02f(x)dx−∫23f(x)dx=∫02(−x2+2x)dx−∫23(−x2+2x)dx=[−x33+x2]02−[−x33+x2]23=−83+4−(−9+9+83−4)=83\begin{align*} \int_{0}^{3}\left|f(x)\right|dx &= \int_{0}^{2}\left|f(x)\right|dx + \int_{2}^{3}\left|f(x)\right|dx \\ &= \int_{0}^{2}f(x)dx - \int_{2}^{3}f(x)dx \\ &= \int_{0}^{2}(-x^2+2x)dx - \int_{2}^{3}(-x^2+2x)dx \\ &=\left[-\frac{x^3}3+x^2\right]^2_0 - \left[-\frac{x^3}3+x^2\right]^3_2 \\ &=-\frac83+4-(-9+9+\frac83-4) \\ &=\frac{8}3 \end{align*} A=323cm2\mathcal{A}=\frac{32}3cm^2

Propriété

Soient ff et gg deux fonctions continues sur [a,b][a,b]. (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) les courbes de ff et gg.

L’aire de la surface située entre les courbes de ff et gg, les droites d’équations x=ax=a et x=bx=b, est le nombre réel

A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx.∥i⃗∥.∥j⃗∥\mathscr{A}=\int_{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|dx .\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|
xyOaby=f(x)y=g(x)dvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 3

Exemple :

f(x)=cos(x)f(x)=cos(x) et g(x)=sin(x)g(x)=sin(x)

(O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) repère orthonormé (∥i⃗∥=∥j⃗∥=1cm\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1cm)

Calculer l'aire du domaine situé entre la courbe (Cf)(C_f) et la courbe (Cg)(C_g) et les droites d’équations : x=−π2x = -\frac\pi2 et x=3π4x = \frac{3\pi}{4}

L’aire du domaine situé entre la courbe (Cf)(C_f) et la courbe (Cg)(C_g) et les droites d’équations x=−π2x = -\frac\pi2 et x=3π4x = \frac{3\pi}{4} est :

A=∫−π23π4∣f(x)−g(x)∣dx.∥i⃗∥.∥j⃗∥=∫−π23π4∣f(x)−g(x)∣dx⋅cm2\begin{align*} \mathcal{A}&=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{3\pi}{4}}\left|f(x)-g(x)\right|dx .\|\vec{i}\|.\|\vec{j}\|\\ &=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{3\pi}{4}}\left|f(x)-g(x)\right|dx\cdot cm^2 \end{align*}
xycosxsinxdvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 30π2π−π+1−1−π23π4π4xycosxsinxdvisvgm:rawset 3dvisvgm:rawdefdvisvgm:rawput 30π2π−π+1−1−π23π4π4
  • Sur l'intervalle ]−π2,π4[]-\frac\pi2,\frac\pi4[ la courbe de cos⁡\cos est située au dessus de la courbe de sin⁡\sin
  • Sur l'intervalle ]π4,3π4[]\frac\pi4,\frac{3\pi}4[ la courbe de sin⁡\sin est située au dessus de la courbe de cos⁡\cos
∫−π23π4∣cos⁡(x)−sin⁡(x)∣dx=∫−π2π4∣cos⁡(x)−sin⁡(x)∣dx+∫π43π4∣cos⁡(x)−sin⁡(x)∣dx=∫−π2π4cos⁡(x)−sin⁡(x)dx−∫π43π4cos⁡(x)−sin⁡(x)dx=[sin⁡x+cos⁡x]−π2π4−[sin⁡x+cos⁡x]π43π4=22+1\begin{align*} \int_{-\frac\pi2}^{\frac{3\pi}{4}}\left|\cos(x)-\sin(x)\right|dx &=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{\pi}{4}}\left|\cos(x)-\sin(x)\right|dx +\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\left|\cos(x)-\sin(x)\right|dx \\ &=\int_{-\frac\pi2}^{\frac{\pi}{4}}\cos(x)-\sin(x)dx -\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\cos(x)-\sin(x)dx \\ &=\left[\sin x+\cos x\right]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi4} -\left[\sin x+\cos x\right]_{\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4} \\&=2\sqrt2+1 \end{align*} A=(22+1)cm2\mathcal{A}=(2\sqrt2+1)cm^2