📝 Exercices de la série▼
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Exercice 4

Soit GG le barycentre de (A,2)(A,2) et (B,−3)(B,-3), EE et FF deux points tels que : EG→=2GF→\overrightarrow{EG}=2\overrightarrow{GF} et E∉(AB)E\notin(AB)

  1. Montrer que GG est le barycentre de (E,1)(E,1) et (F,2)(F,2)
  2. En déduire que les deux droites (EF)(EF) et (AB)(AB) sont sécantes en un point qu'on déterminera.
  1. 1×GE→+2×GF→=2FG→+2GF→=2(FG→+GF→)=2FF→=0⃗\begin{align*} 1\times\overrightarrow{GE}+2\times\overrightarrow{GF} &=2\overrightarrow{FG}+2\overrightarrow{GF} &=2(\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GF})\\ &=2\overrightarrow{FF}\\ &=\vec{0} \end{align*}

    Donc GE→+2GF→=0⃗\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=\vec{0}

    Alors G=bary{(E,1),(F,2)}G=bary\{(E, 1),(F, 2)\}

  2. On a G=bary{(A,2),(B,−3)}G=bary\{(A, 2),(B, -3)\} donc G∈(AB)G\in(AB)

    et on a G=bary{(E,1),(F,2)}G=bary\{(E, 1),(F, 2)\} donc G∈(EF)G\in(EF)

    Donc : G∈(AB)∩(EF)G\in(AB)\cap(EF)

    Ce qui signifie que les droites (AB)(AB) et (EF)(EF) sont sécantes en GG