Résumé, suites numériques

#1bacsef

Sommaire

I- Généralités

1) Définition

Une suite (un)n∈I(u_n)_{n \in I} est une application de I⊂NI \subset \mathbb{N} dans R\mathbb{R} et unu_n est le terme général de la suite (un)n∈I(u_n)_{n \in I}

2) Suite majorée, minorée, bornée

Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} :

  • Majorée : ∃M∈R\exists M \in \mathbb{R} tel que ∀n∈N, un≤M\forall n \in \mathbb{N},~u_n \leq M
  • Minorée : ∃m∈R\exists m \in \mathbb{R} tel que ∀n∈N, un≥m\forall n \in \mathbb{N},~u_n \geq m
  • Bornée : si elle est à la fois majorée et minorée
(un) est borneˊe   ⟺  ∃M∈R∀n∈N∣un∣≤M(u_n)\text{ est bornée } \iff \exists M \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad |u_n| \leq M

3) Monotonie

Soit (un)n≥n0(u_n)_{n\ge n_0} une suite réelle avec n0∈Nn_0\in\N fixé.

  • Croissante : ∀n≥n0, un+1≥un\forall n \ge n_0 ,~u_{n+1} \geq u_n
  • Décroissante : ∀n≥n0, un+1≤un\forall n \ge n_0,~u_{n+1} \leq u_n
  • Stationnaire : ∃m0∈N, ∀n≥m0, un+1=un\exists m_0 \in \mathbb{N},~\forall n \ge m_0,~u_{n+1} = u_n
  • Monotone : croissante ou décroissante
  • Strictement monotone : strictement croissante (un+1>unu_{n+1} > u_n) ou strictement décroissante (un+1<unu_{n+1} < u_n)

Remarques :

  • Une suite est dite stationnaire à partir d’un certain rang si elle devient constante à partir d’un rang n0n_0
  • Si un>0u_n > 0 pour tout nn, alors :
    croissante  ⟺  un+1un≥1\text{croissante} \iff \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1

II- Suite arithmétique

Soit (un)(u_n) une suite numérique

1) Définition

Une suite (un)(u_n) est arithmétique de raison rr si, pour tout nn,

un+1−un=r.u_{n+1} - u_n = r.

2) Terme général

Si (un)(u_n) est une suite arithmétique de raison rr, alors pour tout nn et pp entiers :

un=up+(n−p)⋅r\boxed{u_n = u_p + (n - p) \cdot r}

3) Somme de termes successifs

Si (un)(u_n) une suite arithmétique de raison rr

Alors pour tout n≥pn\ge p

Sn=up+up+1+up+2+⋯+un=up+un2(n−p+1)\begin{align*} S_n &= u_p + u_{p+1} + u_{p+2} + \cdots + u_n \\&=\dfrac{u_p+u_n}{2}(n-p+1) \end{align*}

III- Suite géométrique

Soit (vn)(v_n) une suite numérique

1) Définition

(vn)(v_n) est une suite géométrique de raison qq si, pour tout nn,

vn+1=q.vnv_{n+1} = q.v_n

2) Terme général

Si (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison qq, alors pour tous nn et pp entiers :

vn=vp.qn−p\boxed{v_n = v_p .q^{n-p}}

3) Somme de termes successifs

Si (vn)(v_n) une suite géométrique de raison q≠1q\ne1

Alors pour tout n≥pn\ge p

Sn=vp+vp+1+⋯+vn=vp1−qn−p+11−q\begin{align*} S_n &= v_p + v_{p+1} + \cdots + v_n \\&=v_p\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q} \end{align*}