Notes de cours, Généralités sur les fonctions

#1bacsef

Sommaire

Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD et (Cf)(C_f) sa courbe représentative

Parité

  • ff paire   ⟺  \iff

    (∀x∈D) : −x∈D  et  f(−x)=f(x)(\forall x\in D)~:~-x\in D~\text{ et }~f(-x)=f(x)

  • ff impaire   ⟺  \iff

    (∀x∈D) : −x∈D  et  f(−x)=−f(x)(\forall x\in D)~:~-x\in D~\text{ et }~f(-x)=-f(x)

  • ff paire   ⟺  \iff (Cf)(C_f) symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

  • ff impaire   ⟺  \iff (Cf)(C_f) symétrique par rapport à l’origine du repère.

Périodicité

  • ff périodique si (∃t≠0)(\exists t\ne0) tel que :

    • ∀x∈D : x+t∈D\forall x\in D~:~x+t\in D
    • ∀x∈D : f(x+t)=f(x)\forall x\in D~:~f(x+t)=f(x)

  • On appelle période TT de ff le plus petit des réels tt positif.

xx+T⃗if
  • Si ff est une fonction TT-périodique alors :
    (∀x∈D) (∀k∈Z) ; f(x+kT)=f(x)(\forall x\in D)~(\forall k\in\Z)~;~f(x+kT)=f(x)

Comparaison de fonctions

ff et gg deux fonctions. On dit que ff et gg sont égales (f=gf=g) si

  • ff et gg ont même ensemble de définition DD
  • pour tout x∈Dx\in D on a : f(x)=g(x)f(x) = g(x).

Graphiquement : les courbes (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) sont confondues sur DD

  • ff et gg deux fonctions définies sur un intervalle II.

    On dit que deux ff est inférieure ou égale à gg sur II, et on note f≤gf\leq g si : ∀x∈I  f(x)≤g(x)\forall x \in I \ \ f(x)\leq g(x)

  • f<gf<g sur II si et seulement si ∀x∈I ; f(x)<g(x)\forall x\in I ~;~f(x) < g(x), et cela veut dire que (Cf)(C_f) est en dessous de (Cg)(C_g) sur II
  • f≥0f \geq 0 sur II si et seulement si ∀x∈I ; f(x)≥0\forall x\in I ~;~f(x) \geq 0, et cela veut dire que (Cf)(C_f) est au-dessus ou sur l’axe des abscisses sur II

Fonction : minorée, majorée et bornée

  • ff est majorée sur DD si ∃M∈R  ∀x∈D f(x)≤M\exists M\in\R \ \ \forall x\in D \ f(x)\leq M ;
  • ff est minorée sur DD si ∃m∈R  ∀x∈U f(x)≥m\exists m\in\R \ \ \forall x\in U \ f(x)\geq m ;
  • ff est bornée sur DD si ff est à la fois majorée et minorée sur DD,

f est borneˊe sur Df~ \text{est bornée sur }D   ⟺   ∃M∈R ∀x∈D  ∣f(x)∣≤M\iff\ \exists M\in\R \ \forall x\in D \ \ |f(x)|\leq M

Extrimums

Soit f:D→Rf:D\to \R une fonction. et a∈Da\in D On dit que :

  • f(a)f(a) est une valeur minimale de ff sur DD si :
∀x∈D ; f(x)≥f(a)\forall x\in D ~;~ f(x)\ge f(a)
  • f(a)f(a) est une valeur maximale de ff sur DD si :
∀x∈D ; f(x)≤f(a)\forall x\in D ~;~ f(x)\le f(a)

Si f(a)f(a) est une valeur maximale ou une valeur minimale de ff sur DD,

Alors on dit que le point A(a,f(a))A(a,f(a)) est un extremum de ff sur DD.

Variations

  • ff est croissante sur DD si pour tous réels a,b∈Da,b\in D avec a<ba < b on a :
f(a)≤f(b)f (a) \leq f (b)
  • ff est décroissante sur DD si pour tous réels a,b∈Da,b\in D avec a<ba < b on a
f(a)≥f(b)f (a) \geq f (b)

  • ff est monotone sur II si ff ne change pas de sens de variation sur II

  • On obtient les définitions de strictement croissante ou strictement décroissante en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.

Soit f:I↦Rf:I\mapsto \R une fonction, on pose T(x,y)=f(x)−f(y)x−yT(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} ; x≠yx\ne y et x,y∈Ix,y\in I

  • T(x,y)T(x,y) est appelé le taux d’accroissement
  • Si (∀x,y∈I) ; T(x,y)≥0(\forall x,y\in I)~;~T(x,y)\ge0 alors ff est croissante sur II
  • Si (∀x,y∈I) ; T(x,y)≤0(\forall x,y\in I)~;~T(x,y)\le0 alors ff est décroissante sur II
  • Si (∀x,y∈I) ; T(x,y)=0(\forall x,y\in I)~;~T(x,y)=0 alors ff est constante sur II

λ∈R\lambda\in \R

  • Les fonctions ff et f+λf + \lambda ont même sens de variation sur DD.
  • Si λ>0\lambda >0, alors la fonction λf\lambda f a les mêmes variations que ff sur DD
  • Si λ<0\lambda<0, alors ff et λf\lambda f ont des sens de variations contraires sur DD

ff paire définie sur I∪JI\cup J avec I⊂R+I\subset\R^+ et J⊂R−J\subset\R^-

ff croissante sur II   ⟺  \iff ff décroissante sur JJ

ff impaire définie sur I∪JI\cup J avec I⊂R+I\subset\R^+ et J⊂R−J\subset\R^-

ff croissante sur II   ⟺  \iff ff croissante sur JJ

Composée de deux fonctions

f:I→Rf:I\to\R et g:J→Rg:J\to \R

  • La fonction g∘fg\circ f est bien définie si f(I)⊂Jf(I)\subset J

ff définie sur DfD_f et gg définie sur DgD_g

alors le domaine de définition de la fonction g∘fg\circ f est

Dg∘f={x∈R/ x∈Df et f(x)∈Dg}D_{g\circ f}=\left\{ x\in\R / ~ x\in D_f \text{ et } f(x)\in D_g \right\}

  • Si ff et gg ont la même monotonie (toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes), alors la fonction composée g∘fg \circ f est croissante.

  • Si ff et gg ont des monotonies opposées (l’une est croissante, l’autre décroissante), alors la fonction composée g∘fg \circ f est décroissante.

La fonction f:x↦x+af : x \mapsto \sqrt{x + a}

  • Ensemble de définition : Df=[−a ;+∞[D_f = [-a\, ; +\infty[
  • Variations de ff : la fonction ff est strictement croissante sur [−a ;+∞[[-a\, ; +\infty[.
  • Représentation graphique :
xy0y=√x+a−a
  • la courbe de la fonction x↦x+ax \mapsto \sqrt{x + a} est l’image de celle de x↦xx \mapsto \sqrt{x} par la translation de vecteur −a i⃗-a\,\vec{i}.

La fonction f:x↦ax3f : x \mapsto ax^3

  • Ensemble de définition : Df=RD_f = \mathbb{R}
  • Variations de ff :
    • Si a>0a > 0 : la fonction ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}
    • Si a<0a < 0 : la fonction ff est strictement décroissante sur R\mathbb{R}
  • Représentation graphique :
a>0\boxed{a>0}
xy0
a<0\color{red}\boxed{a<0}
xy0