مبرهنة النقطة الصامدة

مدخل عام

من بين النتائج المهمة لمبرهنة القيم الوسطية في التحليل الرياضي بشكل خاص وفي الطوبولوجيا بشكل عام نجد مبرهنة النقطة الصامدة (Fixed Point Theorem) التي تصرح وفق شروط معينة أن دالة $f$ تقبل نقطة صامدة أي يوجد عدد $c$ بحيث $f(c)=c$ وهده المبرهنة لها عدة تطبيقات في العلوم الأخرى مثل علم الأحياء، والكيمياء، والفيزياء، والهندسة، ونظرية الألعاب، والاقتصاد. فماهي مبرهة النقطة الصامدة؟ وما تطبيقاتها؟ وكيف تلعب دورا فعالا في حل المشكلات الرياضية؟

في الحقيقة هده المبرهنة لها عدة صيغ ، في هده الرحلة سنقتصر على صيغتها في فضاء مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ المزود بالمسافة المترية المسماة القيمة المطلقة.

توضيح بحالة خاصة

لتكن $f$ دالة (أو تطبيق ) معرف من $[0,1]$ نحو $[0,1]$ بحيث $f$ متصلة (مستمرة) على $[0,1]$ إدن الدالة $f$ تقبل نقطة صامدة

بتعبير أخر يوجد عدد $c$ من $[0,1]$ يحقق $f(c)=c$

مبيانيا : خد أي دالة متصلة ومعرفة على [0,1] نحو [0,1] ستجد أن تمثيلها المبياني يتقاطع مع المستقيم الدي معادلته $y=x$ اي توجد نقطة إحداتيتها $(c,c)$ تنتمي إلى التمثيل المبياني للدالة $f$

برهان

نعتبر الدالة المساعدة $g$ المعرفة على $[0,1]$ بحيث : $g(x)=f(x)-x$

• الدالة $g$ متصلة على $[0,1]$ لأن الدالتين $f$ و $x\mapsto x$ متصلتين على $[0,1]$

• $g(0)=f(0)-0=f(0)$ وبما أن $f(0)\in[0,1]$ فإن $g(0)\ge0$

• $g(1)=f(1)-1$ وبما أن $f(1)\in[0,1]$ فإن $f(1)\le1$ ومنه $g(1)\le0$ إدن حسب مبرهنة القيم الوسطية يوجد عدد $c$ من $[0,1]$ بحيث : $g(c)=0$ بمعنى $f(c)=c$

---

تعميم على الدوال العددية

لتكن $f$ دالة عددية معرفة مجال $I$ تحقق الشروط التالية

• المجال $I$ مغلق وغير فارغ.
• لكل $x,y\in I$ يوجد عدد حقيقي $k\in]0,1[$ بحيث : $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$
• $f(I)\subset I$

إدن

1. $f$ تقبل نقطة صامدة وحيدة $\ell$ في $I$

2. لكل $u_0\in I$, المتتالية $u:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ المعرفة بما يلي : $\left\{\begin{matrix}u_0\in I \\ \forall n\in \mathbb{N},~u_{n+1}=f(u_n)\end{matrix}\right.$ متقارلة وتؤول إلى $\ell$

---

• لنبين أن المتتالية $u$ معرفة جيدا : لدينا $u_0\in I$ و $I$ مستقر بالدالة $f$ ($f(I)\subset I$) إدن المتتالية $u$ معرفة ولدينا : $\forall n\in \mathbb{N}~:~u_n\in I$

• البرهان على وجود نقطة صامدة للدالة $f$

لدينا :

$|f(u_{n})-f(u_{n-1})|\le k |u_{n}-u_{n-1}|$

$|u_{n+1}-u_{n}|\le k |u_{n}-u_{n-1}|$

--

$n=1 \implies |u_{2}-u_{1}|\le k |u_{1}-u_{0}|$

$n=2 \implies |u_{3}-u_{2}|\le k |u_{2}-u_{1}|$

$n=3 \implies |u_{4}-u_{3}|\le k |u_{3}-u_{2}|$

$\vdots~~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~\vdots$

$n\to n-1 \implies |u_{n}-u_{n-1}|\le k |u_{n-1}-u_{n-2}|$

$n\to n \implies |u_{n+1}-u_{n}|\le k |u_{n}-u_{n-1}|$

نضرب هده المتفاوتات طرف بطرف ونختزل فنحصل على :

$|u_{n+1}-u_n|\le k^n |u_{1}-u_{0}|$

--

• لنبين أن المتتالية $u$ هي متتالية كوشي

تذكير نقول أن المتتالية $(u_n)_n$ هي متتالية كوشي ادا وفقط ادا كان :

$\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}^*, \forall n,m\ge N ~~~: ~~ |u_n-u_m|< \epsilon$

بعبارة أخرى، لأي قيمة صغيرة موجبة $\epsilon$، يمكن إيجاد نقطة في المتتالية بعديها تكون كل العناصر اللاحقة قريبة من بعضها البعض بمسافة أقل من $\epsilon$.

ليكن : $\epsilon\in\mathbb{R}^*_+$

ليكن $(p,q)\in\mathbb{N}^2$ بحيث : $q>p\ge0$

لنضع : $r=q-p$

لدينا : $|u_q-u_p|=|u_{p+r}-u_p|=\left|\displaystyle\sum_{i=p}^{p+r-1}u_{i+1}-u_i\right|$

$|u_q-u_p|\le \displaystyle\sum_{i=p}^{p+r-1}\left|u_{i+1}-u_i\right|$

$|u_q-u_p|\le \displaystyle\sum_{i=p}^{p+r-1}k^i\left|u_{1}-u_0\right|$

$\displaystyle\sum_{i=p}^{p+r-1}k^i\left|u_{1}-u_0\right|=k^p|u_1-u_0|\displaystyle\sum_{i=0}^{r-1}k^i$

لدينا : $k\in]0,1[$ , إدن المتتالية الهندسية التي حدها العام $k^i$ متقاربة و مكبورة ب $\dfrac1{1-k}$

إدن : $|u_q-u_p|\le \dfrac{k^p}{1-k}|u_1-u_0|$

لدينا : $\dfrac{k^p}{1-k} \to 0$ عندما $p\to+\infty$ لأن $k\in]0,1[$

وبالتالي :

$\exists N\in\mathbb{N},\forall p\in\mathbb{N}~~(p\ge N \implies \dfrac{k^p}{1-k}|u_1-u_0|\le \epsilon \implies |u_q-u_p|\le \epsilon$

وبما أن $\mathbb{N}$ كامل فإن المتتالية $u$ متقاربة

لتكن $\ell$ هي نهاية المتتالبة $u$

بما أن المجال $I$ مغلق فإن $\ell\in I$

لينا $f$ متصلة لأنها تحقق الشرط 2 إدن :

$\lim\limits_{n\to+\infty} f(u_n)=f\left(\lim\limits_{n\to+\infty} u_n\right)$

$\lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1}=f\left(\ell\right)$

$\ell=f\left(\ell\right)$

وبالتالي $f$ تقبل نقطة صامدة $\ell\in I$ وهي نهاية المتتالية $u$

• لنتبت وحانية $\ell$

نفترض أنه لدينا نقطتين صامدتين $\ell,\ell'\in I$

إدن : $f(\ell)=\ell$ و $f(\ell')=\ell'$

لدينا : $|f(\ell)-f(\ell')|\le k|\ell-\ell'|$

$|\ell-\ell'|\le k|\ell-\ell'|$

$|\ell-\ell'|(1-k)\le 0$

$|\ell-\ell'|\le 0$

$|\ell-\ell'|= 0$

$\ell=\ell'$

---

ملاحظات :

1. الشرط المجال $I$ مغلق غير ملزم إدا كنا نعلم بطريقة أخرى أن $\ell\in I$ (في التطبيق نقوم بحساب $\ell$ بحل المعادلة $f(x)=x$)

2. المبرهنة تطبق فقط إدا كان $k\in]0,1[$

مثال مضاد : نعتبر الدالة العددية المعرفة على المجال $I=[1,+\infty[$ بما يلي : $f(x)=x+\dfrac1x$

ليكن $x,y\in I$ بحيث : $x<y$

الدالة $f$ تزايدية على $I$ إدن :

$|f(y)-f(x)|= f(y)-f(x)=y-x-\dfrac{y-x}{xy}$

$|f(y)-f(x)|= (y-x)(1-\dfrac{1}{xy})$

$|f(y)-f(x)|\le |y-x|$

إدن $k=1\notin]0,1[$

و $f$ ليست لديها نقطة صامدة لأن المعادلة $f(x)=x$ لاتقبل حل في $I$

3. إدا كانت $f$ دالة قابلة للإشتقاق فإن الشرط $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$ يمكن استبداله بالشرط $sup_{x\in I} |f'(x)|\le 1$

مثال تطبيقي

لندرس تقارب المتتالية المعرفة بمايلي :

$$\left\{\begin{matrix}u_0\in[-1,+\infty[ \\~\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\end{matrix}\right.$$

نعتبر الطبيق $f$ المعرف على $[-1;+\infty[$ ب : $f(x)=\sqrt{x+1}$

$$\begin{align*} f(x)=x &\iff \sqrt{x+1}=x \\ & \iff x\ge0~و~x^2-x-1=0 \\ & \iff x=\frac{1+\sqrt5}{2} \end{align*}$$

• لدينا الدالة $f$ قابلة للإشتقاق على $]-1;+\infty[$ وتزايدية على $[-1;+\infty[$

إدن :

$$f([-1,+\infty[)=[0;+\infty[\subset[-1,+\infty[$$

المجال $I$ مستقر بالدالة $f$ إدن المتتالية معرفة

$$\forall x\in \mathbb{R}^+~;~f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\le \dfrac12$$

إدن حسب مبرهنة التزايدات المنتهية :

$$(\forall x,y\in \mathbb{R}^+)~~:~~|f(x)-f(y)|\le \displaystyle\sup_{t\in I} |f'(t)||x-y|$$ $$(\forall x,y\in \mathbb{R}^+)~~:~~|f(x)-f(y)|\le \frac12|x-y|$$ $$f(\mathbb{R}^+)=[1;+\infty[\subset\mathbb{R}^+$$

إدن المجال $\mathbb{R}^+$ مستقر بالدالة $f$

حسب مبرهنة النقطة الصامدة لمتتالية $(u_n)$ المعرفة ب : $\left\{\begin{matrix}u_0\in[0,+\infty[ \\~\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\end{matrix}\right.$ متقاربة وتؤول إلى $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$

وختاما في حالة $u_0\in[-1,0]$ فإن $u_1\in\mathbb{R}^+$ وحسب ما سبق فإن المتتالية $\left\{\begin{matrix}u_0\in[-1,+\infty[ \\~\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}\end{matrix}\right.$ متقاربة وتؤول إلى $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$

---

إن معرفة وجود النقاط الصامدة لها تطبيقات ذات صلة في العديد من فروع التحليل والطوبولوجيا. مبرهنة النقطة الصامدة لبروير (Brouwer's Fixed Point Theorem) التي تطرقنا إليها، لها عدة تطبيقات عملية، من بينها علم الاقتصاد. يمكن تطبيقها في مجال الاقتصاد لإثبات وجود توزيعات أسعار التوازن في اقتصاد التبادل الخالص. في النظام الاقتصادي النموذجي، يوجد مستهلكون وسلع ومجموعة من المتغيرات المرتبطة بهم، بما في ذلك تزويد السلع وسعرها، والطلب عليها. بشكل عام، تتغير قيم المتغيرات في المستقبل القريب، اعتمادًا على قيمها في الوقت الحالي. على سبيل المثال، قد يؤدي النقص الحالي في كمية منتوج معين إلى ارتفاع سعره في المستقبل القريب. يهتم الاقتصاديون بمعرفة إذا كان النظام الاقتصادي يمكن أن يكون في حالة توازن، وهي حالة يكون فيها المستهلكون راضين بشكل مناسب مع عرض وسعر وطلب لا يتغير، أي المرتبطة بكل من السلع. نطبق مبرهنة النقطة الصامدة لبروير في مثل هذا النموذج الاقتصادي لكي نثبت أن حالات التوازن ممكنة.

هناك تعميم لمبرهنة النقطة الصامدة لبروير، والمعروفة باسم مبرهنة النقطة الصامدة لكاكوتاني (Kakutani's Fixed Point Theorem)، وهي مبرهنة النقطة الصامدة للدوال ذات القيمة المحددة، حيث تلعب دورًا مركزيًا في إثبات وجود التوازن العام في اقتصادات السوق، وتستعمل لإثبات وجود توازن ناش (Nash equilibrium) في نظرية الألعاب. وهذه الأخيرة هي واحدة من أهم النتائج في مجال نظرية الألعاب، لأنها توضح أن هناك مجموعة من الاستراتيجيات التي تعمل على تحسين النتيجة المتوقعة لجميع اللاعبين.

نظريات النقاط الصامدة هي مجال هام وحيوي في الطوبولوجيا ولها العديد من التطبيقات في الفروع العلمية الأخرى.