Olympiades des mathématiques 3ème APIC

#اولمبياد#رياضيات

Direction provinciale de Sidi Kacem

14 - 01 - 2022

Durée : 2h

Exercice 1 (4pts)

xx et yy étant deux nombres réels positifs tels que :

x2+xy+y2=84 x^2+xy+y^2=84 \ et  x−xy+y=6 \ x-\sqrt{xy}+y=6

calculer la valeur de xyxy

Afficher la correction

on a x−xy+y=6x-\sqrt{xy}+y=6 donc
(x+y)2=(6+xy)2(x+y)^2=(6+\sqrt{xy})^2
x2+xy+y2+xy=36+12xy+xyx^2+xy+y^2+xy=36+12\sqrt{xy}+xy
84=36+12xy84=36+12\sqrt{xy}
12xy=4812\sqrt{xy}=48
xy=4812=4\sqrt{xy}=\frac{48}{12}=4
Donc : xy=16xy=16

Exercice 2 (5pts)

Soit ABCABC un triangle rectangle et isocèle en AA, avec AC=AB=aAC=AB=a
Soit (C)(C) le demi-cercle de centre OO et de diamètre [AC][AC]. La parallèle à (AB)(AB) passant par OO coupe (C)(C) en EE (voir figure)

ABCOE

Calculer la distance BEBE en fonction de aa.

Afficher la correction

Notons II le point d'intersection des deux droites (BE) et (AC)

ABCOEI

Donc BE=BI+IEBE=BI+IE

On a (AB)//(OE)(AB)//(OE) donc en utilisant le théorème de Thalis

On a IBIE=IAIO=ABOE    (1)\frac{IB}{IE}=\frac{IA}{IO}=\frac{AB}{OE} \ \ \ \ (1)

IBIE=aa/2=2\frac{IB}{IE}=\frac{a}{a/2}=2

Donc IB=2IEIB=2IE

Donc BE=BI+IE=2IE+IE=3IEBE=BI+IE=2IE+IE=3IE

De la reltion (1)(1)

IAIO=aa/2=2\frac{IA}{IO}=\frac{a}{a/2}=2

IA=2IOIA=2IO

Donc IO=OA−IA=a−2IoIO=OA-IA=a-2Io

IO+2IO=aIO+2IO=a

Par le théorème de Pythagore dans le triangle OIE on a :

IE2=OI2+OE2IE^2=OI^2+OE^2

IE2=OI2+OE2=a2+(a3)2=109a2IE^2=OI^2+OE^2=a^2+(\frac{a}{3})^2=\frac{10}{9}a^2

IE=103aIE=\frac{\sqrt{10}}{3}a

D'où :

BE=3IE=3103a=10aBE=3IE=3 \frac{\sqrt{10}}{3}a=\sqrt{10}a

Exercice 3 (6pts)

  1. Montrer que :

    (1999999)2+3999999=4×1012(1999999)^2+3999999=4×10^{12}

  2. aa et bb étant deux nombres réels positives,

    Comparer x=a−bx=\sqrt{a}-\sqrt{b} et y=a+1−b+1y=\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}

Afficher la correction

Posons a=106a=10^6 , alors:

(1999999)2+3999999=(2a−1)2+(4a−1)(1999999)^2+3999999=(2a-1)^2+(4a-1)

   =4a2−4a+1+4a−1=4a2\ \ \ = 4a^2-4a+1+4a-1=4a^2

   =4×(106)2\ \ \ = 4\times (10^6)^2

   =4×1012\ \ \ =4×10^{12}

x=a−bx=\sqrt{a}-\sqrt{b}

   =(a−b)(a+b)a+b\ \ \ =\frac{(\sqrt{a} -\sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}

   =a−ba+b\ \ \ =\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}

y=a+1−b+1y=\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}

   =(a+1−b+1)(a+1+b+1)a+1+b+1\ \ \ =\frac{(\sqrt{a+1} -\sqrt{b+1})(\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1})}{\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1}}

   =a−ba+1+b+1\ \ \ =\frac{a - b}{\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1}}

aa et bb sont positifs doc :

a+1≥a   et   b+1≥ba+1\ge a \ \ \ et \ \ \ b+1 \ge b

a+1≥a   b+1≥b\sqrt{a+1} \ge \sqrt{a} \ \ \ \sqrt{b+1} \ge \sqrt{b}

Donc

a+1+b+1≥a+b\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}

1a+b≥1a+1+b+1\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge \frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}

Si a≥ba\ge b alors

a−ba+b≥a−ba+1+b+1\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge \frac{a-b}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}

x≥yx \ge y

Si b≥ab\ge a alors

a−ba+1+b+1≥a−ba+b\frac{a-b}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}}\ge \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

y≥xy \ge x

Résumé :

  • Si b≥ab\ge a alors y≥xy \ge x

  • Si a≥ba\ge b alors x≥yx \ge y

Exercice 4 (5pts)

(C)(C) est un cercle de diamètre AB=9AB=9

M∈(C)M\in(C) tel que la distance AM=4.5AM = 4.5

MABOEF4,5(C)

Calculer l’aire du rectangle ABFEABFE

Afficher la correction
MABOEF4,5(C)

On a : OA=AB2=4,5OA=\frac{AB}{2}=4,5

Donc : OA=OM=AM=4,5OA=OM=AM=4,5

Le triangle OAM est équilatérale

Donc : OAM^=60°\widehat{OAM}=60°

Et on a : EAM^=EAO^−OAM^=90°−60°=30°\widehat{EAM}=\widehat{EAO}-\widehat{OAM}=90°-60°=30°

cos(EAM^)=EAAM=EA4,5cos(\widehat{EAM})=\frac{EA}{AM}=\frac{EA}{4,5}

et on sait que : cos(30°)=32cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Donc : EA4,5=32\frac{EA}{4,5}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Donc : EA=4,532=934EA=4,5\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}

L’aire du rectangle ABFEABFE est :

EA×AB=934×9=8134EA\times AB=\frac{9\sqrt{3}}{4}\times 9=\frac{81\sqrt{3}}{4}