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on a : $\quad\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\quad$ et $\quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Donc :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} &= \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} \\ &= (2 - 1)\vec{i} - (-2 - 0)\vec{j} + (-2 - 0)\vec{k} \\ &= \vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k} \end{aligned}$$

Méthode 1

On a $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \ne \vec{0}$

donc $(ABC)$ est un plan de vecteur normal $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

$$\begin{aligned} &M(x,y,z)\in(ABC) \\ & \iff \overrightarrow{AM}\cdot(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC})=0 \\ &\iff \begin{pmatrix} x+1 \\ y-0 \\ z-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} =0 \\ &\iff x+1+2y-2(z-1)=0 \\ &\iff x+2y-2z+3=0 \end{aligned}$$

Alors

$$(ABC) \ : \ x+2y-2z+d=0$$

est une équation cartésienne du plan $(ABC)$

Méthode 2

une equation du plan $(ABC)$ s'écrit sous la forme :

$$(ABC) \ : \ ax+by+cz+d=0$$

on a $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ est un vecteur noramal à $(ABC)$ donc on prned : $a=1, \ b=2 \text{ et } c=-2$

$$(ABC) \ : \ x+2y-2z+d=0$$

comme $A(1,0,-1)\in(ABC)$, alors :

$$\begin{aligned} &x_A+2y_A-2z_A+d=0 \\ &\implies 1+0-2\times(-1)+d=0 \\ &\implies d=3 \end{aligned}$$

Alors

$$(ABC) \ : \ x+2y-2z+d=0$$

est une équation cartésienne du plan $(ABC)$

On a : $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

Donc :

$$\begin{aligned} \vec{u} \cdot (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) &= 2 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times (-2) \\ &= 2 + 2 - 4 \\ &= 0 \end{aligned}$$

donc $\vec{u}\perp (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC})$

et on a $\vec{u} \parallel (\Delta)$ et $(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC})\perp (ABC)$

Alors $(\Delta)\parallel (ABC)$

On a : $\Omega(0, 3, 0)$ et $D(2, 7, -4)$

$\quad \overrightarrow{\Omega D} \begin{pmatrix} 2 - 0 \\ 7 - 3 \\ -4 - 0 \end{pmatrix} \qquad \text{donc : }\quad \overrightarrow{\Omega D}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}$

Et comme $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, alors :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\Omega D} \cdot \vec{u} &= 2 \times 2 + 4 \times 1 + (-4) \times 2 \\ &= 4 + 4 - 8 \\ &= 0 \end{aligned}$$

donc $(\Omega D)\perp (\Delta)$

et comme $D\in(\Delta)$ alors $D$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(\Delta)$

et donc

$$\begin{aligned} R = \Omega D &= \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} \\ &= \sqrt{4 + 16 + 16} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6 \end{aligned}$$

Donc : le rayon de la sphère $(S)$ est égal à $6$

On a $\Omega(0, 3, 0)$ et le plan $(ABC) : x + 2y - 2z + 3 = 0$.

Donc :

$$\begin{aligned} d(\Omega, (ABC)) &= \frac{|0 + 2(3) - 2(0) + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \\ &= \frac{|6 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \\ &= \frac{9}{\sqrt{9}} \\ &= \frac{9}{3} = 3 \end{aligned}$$

Puisque $d(\Omega, (ABC)) = 3 < R$ (où $R = 6$), le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$ de rayon $r$ :

$$\begin{aligned} r &= \sqrt{R^2 - d^2} \\ &= \sqrt{6^2 - 3^2} \\ &= \sqrt{36 - 9} \\ &= \sqrt{27} \\ &= 3\sqrt{3} \end{aligned}$$

On a : $C(-1, 1, 2)$ et $\Omega(0, 3, 0)$

$\quad \overrightarrow{C\Omega} \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ 3 - 1 \\ 0 - 2 \end{pmatrix} \qquad \text{donc : }\quad \overrightarrow{C\Omega}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

D'après la question 1.a, on a $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Donc : $\overrightarrow{C\Omega} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$

on a $(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) \perp(ABC)$

donc $(C\Omega)\perp (ABC)$

et comme $C\in(ABC)$, alors $C$ est le projeté orthogonal de $(\Omega)$ sur $(ABC)$

et comme $(ABC)$ coupe la sphère (S) suivant un cercle $(\Gamma)$

alors $C$ est le centre de ce cercle.