Correction Exercice 1 ECO-2025N

$$u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \dfrac{u_n - 2}{2u_n + 5}$$

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1/ $\quad u_1$ et $u_2$ ?

• $u_1 = \dfrac{u_0 - 2}{2u_0 + 5} = \dfrac{2 - 2}{2 \cdot 2 + 5} = \dfrac{0}{9} = 0$

• $u_2 = \dfrac{u_1 - 2}{2u_1 + 5} = \dfrac{0 - 2}{2 \cdot 0 + 5} = \dfrac{-2}{5}$

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2/ Récurrence : $u_n > -1$ $\quad (\forall n \in \mathbb{N})$ ?

Initialisation : Pour $n = 0$, $u_0 = 2 > -1$ ✅

Hérédité : Supposons que $u_n > -1$ pour un certain $n$.

Alors :

$$u_{n+1} = \dfrac{u_n - 2}{2u_n + 5}$$ $$\begin{align*} u_{n+1} -(-1) &= \dfrac{u_n - 2}{2u_n + 5}+1\\ &=\dfrac{u_n - 2+2u_n+5}{2u_n + 5}\\ &=\dfrac{3(u_n+1)}{2u_n + 5} ~~~({\color{orange}\bullet}) \end{align*}$$

• $u_n > -1 \Rightarrow 2u_n + 5 > 2(-1) + 5 = 3 > 0$

Donc $2u_n + 5 > 0$

• $u_n > -1 \Rightarrow u_n +1 > 0$

✅ Donc $u_{n+1} > -1$

Conclusion : Par récurrence, $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n > -1$

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3/ $\quad v_n = \dfrac{1}{1 + u_n}$

3/a/ $\quad v_0$ ?

$$v_0 = \dfrac{1}{1 + u_0} = \dfrac{1}{1 + 2} = \dfrac{1}{3}$$

3/b/ $\quad v_{n+1} - v_n$ ?

on a $v_{n+1}= \dfrac{1}{1 + u_{n+1}}$

et d'aprés $({\color{orange}\bullet})$,$\quad$ on a : $1+u_{n+1}=\dfrac{3(u_n+1)}{2u_n + 5}$

donc $v_{n+1}=\dfrac{2u_n + 5}{3(u_n+1)}$

Alors :

$$\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{2u_n + 5}{3(u_n+1)}-\dfrac{1}{1 + u_n} \\~\\&=\dfrac{2u_n+5-3}{3(1 + u_n)} \\~\\&=\dfrac{2(u_n+1)}{3(1 + u_n)} \\~\\&=\dfrac23 \end{align*}$$

et donc la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=\dfrac23$ et de premier terme $v_0= \dfrac{1}{3}$

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3/c/ $v_n$ en fonction de $n$ ?

Suite arithmétique donc :

$$\begin{align*} v_n &= v_0 + n \cdot \frac{2}{3} \\~\\ &= \frac{1}{3} + \frac{2n}{3} \\~\\ &= \frac{2n + 1}{3} \end{align*}$$

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3/d/ Déduction $u_n = \dfrac{-2n + 2}{2n + 1}$ ?

$$v_n = \dfrac{1}{1 + u_n} \quad \Rightarrow \quad u_n = \dfrac{1 - v_n}{v_n}$$ $$\begin{align*} u_n &= \dfrac{1 - \frac{2n + 1}{3}}{\frac{2n + 1}{3}} \\~\\ &= \frac{3-2n-1}{2n+1} \\~\\ &=\dfrac{-2n + 2}{2n + 1} \end{align*}$$

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4/ limite de $u_n$

$$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} u_n &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-2n+2}{2n+2} \\ &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-2n}{2n}\\ &=-1 \end{align*}$$