correction Exercice 3 SM-2025

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pp premier impair et a a entier avec a∧p=1a\wedge p=1.

1/

pp premier et a∧p=1a\wedge p=1 alors d'aprés le théorème de Fermat :

ap−1≡1 [p]  (∗)\boxed{a^{p-1} \equiv 1 ~[p]} ~~(*)

posons m=p−12m=\frac{p-1}2 on a mm entier car pp impair

Alors

(∗)  ⟹  (am)2≡1 [p]  ⟹  (am)2−1≡0 [p]  ⟹  (am−1)(am+1)≡0 [p]  ⟹  am−1≡0 [p] ou am+1≡0 [p]  ⟹  am≡1 [p] ou am≡−1 [p]\begin{align*} (*)&\implies (a^m)^2 \equiv 1 ~[p] \\ &\implies (a^m)^2 -1\equiv 0~[p] \\ &\implies (a^m -1)(a^m+1) \equiv 0~[p] \\ &\implies a^m -1 \equiv 0 ~[p]\text{ ou } a^m +1\equiv 0 ~[p] \\ &\implies a^m \equiv 1 ~[p]\text{ ou } a^m \equiv -1 ~[p] \end{align*}

2/a/ p\quad p premier   ⟹  \implies d'aprés le théorème de Fermat :

x0p≡x0 [p]x_0^p \equiv x_0 ~[p]

  • si pp divise x0x_0 ( p∣x0 )\quad(~p|x_0~)

    donc x0≡0 [p]x_0 \equiv 0 ~[p] donc ax02≡0 [p]ax_0^2\equiv 0 ~[p]

    absurde car x0x_0 solution de l'équation : ax2≡1 [p]ax^2\equiv 1 ~[p]

    Donc pp ne divise pas x0x_0

    Alors

    x0p−1≡1 [p]x_0^{p-1} \equiv 1 ~[p]

2/b/

comme x0x_0 solution de l'équation : ax2≡1 [p]ax^2\equiv 1 ~[p]

alors ax02≡1 [p]ax_0^2\equiv 1 ~[p]

donc

(ax02)p−12≡1[p](ax_0^2)^{\frac{p-1}2} \equiv 1 \left[ p \right] ap−12.x0p−1≡1[p]  (∙)a^{\frac{p-1}2}.x_0^{p-1} \equiv 1 \left[ p \right]~~(\bullet)

et d'aprés question 2/a/ : x0p−1≡1 [p]x_0^{p-1} \equiv 1 ~[p]

  ⟹  x0p−1.ap−12≡ap−12 [2π]  (∙∙)\implies x_0^{p-1}.a^{\frac{p-1}2}\equiv a^{\frac{p-1}2} ~[2\pi] ~~(\bullet\bullet)

Alors

(∙) et (∙∙)  ⟹  ap−12≡1[p](\bullet)~et~(\bullet\bullet)\implies a^{\frac{p-1}2}\equiv 1 \left[ p \right]

3/ n∈N∗\quad n\in\N^*

Si pp divise 22n+1−12^{2n+1} - 1 alors :

22n+1−1≡0 [p]2^{2n+1}-1\equiv 0~[p] 2.22n≡1 [p]  ⟹  2.(2n)2≡1 [p]2.2^{2n} \equiv 1~[p]\implies 2.(2^n)^2\equiv 1~[p]   ⟹  2nsolu d l’eˊqation ax2≡1 [p]pour a=2 et car 2∧p=1\begin{align*} \implies 2^n \text{solu d l'éqation } ax^2\equiv 1~[p] \\ \text{pour $a=2$ et car $2\wedge p=1$} \end{align*}

et donc d'aprés 2/b/

2p−12≡1 [p]2^{\frac{p-1}2}\equiv 1~[p]

3/b/

Th Bezout : ax+by=1ax+by=1 admet au moins une solution dans Z2  ⟺  a∧b=1\Z^2 \iff a\wedge b=1

Pour 11x+(22n+1−1)y=111x+(2^{2n+1}-1)y=1

posons d=11∧(22n+1−1)d=11\wedge(2^{2n+1}-1) et supposons d≠1d\ne 1

Donc p∣d  ⟹  p∣11p|d \implies p|11 et p∣(22n+1−1)p|(2^{2n+1}-1)

  ⟹  p=11\implies p=11 et 2p−12≡1 [p]2^{\frac{p-1}2}\equiv 1~[p]

(car p∈Pp\in\mathbb{P} et d'aprés question 3/a/ )

donc p=11p=11 et 2p−12=25=322^{\frac{p-1}2}=2^5=32

mais 32≡−1 [11]32 \equiv -1~[11] (absurde)

donc d=1d=1

4/a

2(2x+5)2≡1 [11]  ⟺  8x2=40x+50≡1 [11]  ⟺  8x2=40x+49≡0 [11]  ⟺  8(x2+5x+2)≡0 [11]  ⟺  x2+5x+2≡0 [11]\begin{align*} &2(2x+5)^2 \equiv 1~[11] \\ &\iff 8x^2=40x+50\equiv 1~[11] \\ &\iff 8x^2=40x+49 \equiv 0~[11] \\ &\iff 8(x^2+5x+2) \equiv 0~[11] \\ &\iff x^2+5x+2 \equiv 0~[11] \end{align*}

car 8∧11=18\wedge 11=1

4/b

Supposons que l’équation (F):x2+5x+2≡0 [11](F) : x^2 + 5x + 2 \equiv 0 ~[11] admette une solution entière x0∈Zx_0 \in \mathbb{Z}.

D’après la question 4.a :

2(2x0+5)2≡1 [11]2(2x_0 + 5)^2 \equiv 1 ~[11]

Donc u=2x0+5u = 2x_0 + 5 serait une solution de l’équation 2u2≡1 [11]2u^2 \equiv 1 ~[11],
autrement dit :

D’après la question 2.b :

211−12=25=32≡1 [11]2^{\frac{11 - 1}{2}} = 2^5 = 32 \equiv 1 ~[11]

Mais on a :

25=32≡−1 [11]2^5 = 32 \equiv -1 ~[11]

car 32=3×11−132 = 3 \times 11 - 1

absurde

Par conséquent, l’équation (F)(F) n’admet aucune solution dans Z\mathbb{Z}.