Examen Normalisé local 3ème APIC (Session Janvier)

1. • $\sqrt{81}=\sqrt{9^2}=9$
   • $(3\sqrt{5})^2=3^2\times\sqrt{5}^2=9\times5=45$
   • $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-2}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{\sqrt{3}^2}{2^2}=\dfrac{3}{4}$
   $$\begin{align*} \sqrt{2\sqrt{9}+19} &= \sqrt{2\sqrt{3^2}+19} \\ &= \sqrt{2\cdot 3+19} \\ &= \sqrt{25} = \sqrt{5^2} \\ &= 5 \end{align*}$$

2. Simplifier sous la forme $a\sqrt{b}$ : $A=\sqrt{18}+\sqrt{32}+\sqrt{2}$
   $\begin{aligned} A&=\sqrt{2\times3^2}+\sqrt{2\times4^2}+\sqrt{2} \\ &=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+\sqrt{2} \\ &=(3+4+1)\sqrt{2} \\ &=8\sqrt{2} \end{aligned}$

3. Sans radical au dénominateur :

   $$\dfrac{3}{\sqrt{11}}=\dfrac{3\times\sqrt{11}}{\sqrt{11}\times\sqrt{11}}=\dfrac{3\sqrt{11}}{11}$$ $$\begin{align*} \dfrac{1}{\sqrt{3}+1}&=\dfrac{1\times(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}^2-1^2}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \end{align*}$$

4. a. Montrer que : $\dfrac{a}{b}=18\times10^{-2}$

on a

$$\begin{align*} b&=0{,}2\times10^5\\&=2\times10^{-1}\times10^5\\&=2\times10^4 \end{align*} \quad \text{et} \quad a=36\times 10^2$$

donc :

$$\begin{align*} \dfrac{a}{b} &=\dfrac{36\times10^2}{2\times10^4} \\ &=\dfrac{36}{2}\times\dfrac{10^2}{10^4} \\ &=18\times10^{2-4} \\ &=18\times10^{-2} \end{align*}$$

b. L'écriture scientifique de $\dfrac{a}{b}$

$$\begin{align*} \dfrac{a}{b}&=18\times10^{-2}=1{,}8\times10^{1}\times10^{-2}\\ &=1{,}8\times10^{1-2}\\ &=1{,}8\times10^{-1} \end{align*}$$

5. $C=x^2-3+(x+2)(x-\sqrt{3})$

a. Factoriser : $x^2-3$

$$\begin{align*} x^2-3 &=x^2-(\sqrt{3})^2 \\ &=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \end{align*}$$

b. Déduction d'une factorisation de $C$

$$\begin{align*} C&=x^2-3+(x+2)(x-\sqrt{3}) \\ &=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+(x+2)(x-\sqrt{3})\\ &=(x-\sqrt{3})\big[(x+\sqrt{3})+(x+2)\big]\\ &=(x-\sqrt{3})(2x+\sqrt{3}+2) \end{align*}$$

1) Comparaison de $2\sqrt{5}$ et $\sqrt{21}$ :

On a :

$$\begin{aligned} (2\sqrt{5})^2 &= 2^2 \times \sqrt{5}^2 \\ &= 4 \times 5 \\ &= 20 \end{aligned}$$

et $\sqrt{21}^2 = 21$.

Comme $21 \ge 20$, alors $(2\sqrt{5})^2 \ge \sqrt{21}^2$.
Donc : $\boxed{2\sqrt{5} \ge \sqrt{21}}$.

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2) Encadrements de $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ et $\sqrt{5}\times\sqrt{2}$ :

• Pour $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ :

On a $2{,}2 \le \sqrt{5} \le 2{,}3$ et $1{,}4 \le \sqrt{2} \le 1{,}5$.
Donc :

$$2{,}2 + 1{,}4 \le \sqrt{5}+\sqrt{2} \le 2{,}3 + 1{,}5$$

D'où :

$$\boxed{3{,}6 \le \sqrt{5}+\sqrt{2} \le 3{,}8}$$

• Pour $\sqrt{5}\times\sqrt{2}$ (soit $\sqrt{10}$) :

On a $2{,}2 \le \sqrt{5} \le 2{,}3$ et $1{,}4 \le \sqrt{2} \le 1{,}5$.
Donc :

$$2{,}2 \times 1{,}4 \le \sqrt{5}\times\sqrt{2} \le 2{,}3 \times 1{,}5$$

D'où :

$$\boxed{3{,}08 \le \sqrt{10} \le 3{,}45}$$

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3) Encadrement de $\dfrac{x}{3}-2$ sachant que $3 \le x \le 6$ :

On a :

$$3 \le x \le 6$$

En divisant tous les membres par $3$ (strictement positif) :

$$1 \le \dfrac{x}{3} \le 2$$

En soustrayant $2$ à tous les membres :

$$1 - 2 \le \dfrac{x}{3} - 2 \le 2 - 2$$

D'où :

$$\boxed{-1 \le \dfrac{x}{3} - 2 \le 0}$$

1) Dans le triangle $ABC$, on a :

• $AB^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$
• $AC^2 = 2^2 = 4$
• $BC^2 = 3^2 = 9$

Donc :

$$AB^2 + AC^2 = 5 + 4 = 9 = BC^2$$

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

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2) Représentation du triangle rectangle en $A$ :

Les rapports trigonométriques dans ce triangle :

• $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{BA}{BC} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$
• $\sin(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{2}{3}$
• $\tan(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

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3) Sachant que $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ et que $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$, calculons $\cos(x)$ :

$$\begin{aligned} \cos^2(x) &= 1 - \sin^2(x) \\ &= 1 - \left(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{5}{9} \\ &= \dfrac{4}{9} \end{aligned}$$

Donc :

$$\cos(x) = \sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}$$

Puis, en utilisant $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ :

$$\tan(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$$

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4) Simplifier l’expression $A = (\cos(x) + \sin(x))^2 + (\cos(x) - \sin(x))^2$ :

$$\begin{aligned} A &= \cos^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x) - 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x) \\ &= 2\bigl(\cos^2(x) + \sin^2(x)\bigr) \\ &= 2 \times 1 \\ &= \boxed{2} \end{aligned}$$

1. On a le triangle ABC est rectangle en A

Donc D'aprés le théorème de Phytagre:

$$\begin{align*} BC^2\ &=AB^2+AC^2 \\ &=8^2+4^2 \\ &=64+16 \\ &=80 \end{align*}$$

Donc :

$$\begin{align*} BC &=\sqrt{80} \\ &=\sqrt{5\times4^2}\\ &= 4\sqrt{5}\text{ cm} \end{align*}$$

Dans le triangle $BAC$ on a :

• $E\in(AB)$ et $F\in(AC)$
• et $(EF)\parallel (BC)$

Alors d'aprés le théorème de Thalèse :

$$\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC} = \frac{EF}{AC}$$ $$\frac{6}{8} = \frac{BF}{4\sqrt5} = \frac{EF}{4}$$

donc

$$\frac{BF}{4\sqrt5}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \text{ et } \frac{EF}{4}=\dfrac{3}{4}$$

donc

$$BF=3\sqrt5 \text{ et } EF=3$$

L’angle au centre $\widehat{BOC}$ et l’angle inscrit $\widehat{BAC}$

interceptent même arc $\overset{\huge\frown}{BC}$

Donc : $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\times47$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =94°$

Les angles inscrits $\widehat{BDC}$ et $\widehat{BAC}$ interceptent le même arc $\overset{\huge\frown}{BC}$

Alors : $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=47°$