Produit scalaire

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Sommaire

I. Définitions

Définition 1

OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB} deux vecteurs non nuls.

HH est la projection orthogonale du point BB sur la droite (OA)(OA).

Le produit scalaire des deux vecteurs OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB} est le nombre réel : défini comme suit :

  • Cas 1 : si OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB} ont le même sens

    O A B H α
    OA→⋅OB→=OA×OH\boxed{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = OA \times OH}

  • Cas 2 : si OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB} ont des sens opposés

    O A B H α
    OA→⋅OB→=−OA×OH\boxed{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = - OA \times OH}

Question : Que veut OA→⋅OB→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} ? si (OA)⊥(OB)(OA)\perp(OB)

Réponse Dans ce cas on a : H=OH=O c-à-d OH=0OH=0, alors : OA→⋅OB→=0\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=0

Applicaion 1

ABCDABCD est un trapèze rectangle en AA et DD tel que : AB=5AB=5 ; AD=4AD=4 et CD=8CD=8

A B D C

Calculer les produits scalaires suivants :

  • AB→⋅AC→;AD→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \quad;\quad \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}
  • DA→⋅AB→;DC→⋅BC→\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} \quad;\quad \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{BC}
  • AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
A B D C H K
  • AB→⋅AC→=AB.AH=5×8=40\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB.AH=5\times 8=40
  • AD→⋅BC→=BK→⋅BC→=BK.BK=42=16\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BK} \cdot \overrightarrow{BC}=BK.BK=4^2=16
  • DA→⋅BA→=0  \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BA}=0~~ car   (DA)⊥(AB)~~(DA)\perp(AB)
  • DC→⋅BC→=DC.KC=8×3=24\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{BC}=DC.KC=8\times 3=24
  • AB→⋅BC→=−AB.BH=−5×3=−24\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=-AB.BH=-5\times 3=-24

Définition 2

Le produit scalaire des deux vecteurs OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB} est le nombre réel :

OA→⋅OB→=OA.OB.cos⁡(OA→,OB→^)\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=OA.OB.\cos\left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}\right)

pour les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} du plan :

u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣.∣∣v⃗∣∣.cos⁡(u⃗,v⃗‾)\vec{u}\cdot \vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||.\cos\left(\overline{\vec{u},\vec{v}}\right)

Application 2

ABCABC un triangle tels que AB=1AB=1 et AC=3AC=3 et BAC^=π3\widehat{BAC}=\frac\pi3

HH est la projection orthogonale du point BB sur la droite (AC)(AC).

  1. Construire une figure convenable.
  2. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
  3. En déduire AHAH
A C B H
AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡(BAC^)=1×3×cos⁡(π3)=3×12=32\begin{align*} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= AB \times AC\times\cos(\hat{BAC}) \\ &=1\times 3\times\cos(\frac\pi3)\\ &=3\times\dfrac12\\ &=\dfrac32 \end{align*}

  1. puisque HH est le projeté orthogonale de BB sur (AC)(AC)

    Donc AB→⋅AC→=AH×AC=3AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AH\times AC=3AH

    c-à-d : 3AH=323AH=\dfrac32

    Alors AH=12AH=\cfrac12

II. Règles de calcul

Propriété 1 : u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs colinéaires.

  • Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont le même sens, alors u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣.∣∣v⃗∣∣\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||
  • Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont des sens opposés, alors u⃗⋅v⃗=−∣∣u⃗∣∣.∣∣v⃗∣∣\vec{u}\cdot\vec{v}=-||\vec{u}||.||\vec{v}||

Corollaire u⃗2=∣∣u⃗∣∣2\vec{u}^2=||\vec{u}||^2

Propriété 2

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0

Propriété 3 règle de calcul

pour tous vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} et pour tout α∈R\alpha\in\R

  • u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}
  • (u⃗+v⃗)⋅w⃗=u⃗⋅w⃗+v⃗⋅w⃗(\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}
  • u⃗⋅(u⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}
  • (αu⃗)⋅v⃗=α(u⃗⋅v⃗)(\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})

Autre propriétés

  • (u⃗+v⃗)2=∣∣u⃗∣∣2+2u⃗⋅v⃗+∣∣v⃗∣∣2(\vec{u}+\vec{v})^2=||\vec{u}||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2
  • (u⃗−v⃗)2=∣∣u⃗∣∣2−2u⃗⋅v⃗+∣∣v⃗∣∣2(\vec{u}-\vec{v})^2=||\vec{u}||^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2
  • (u⃗−v⃗)(u⃗+v⃗)=∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2(\vec{u}-\vec{v})(\vec{u}+\vec{v})=||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2

Application 3

ABCABC est un triangle tels que : AB=3  AB=3~~ ,   AC=4~~AC=4 et BAC^=2π3\widehat{BAC}=\dfrac{2\pi}3

PP et QQ deux points tels que : AP→=2AB→+AC→\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} et AQ→=AB→−3AC→\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}

  1. Calculer AB→.AC→\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
  2. Calculer AP→.AQ→\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{AQ} puis déduire.
  1. Calcul de AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} :
AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡(2π3)=3×4×(−12)=−6\begin{align*} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= AB \times AC \times \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &= 3 \times 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -6 \end{align*}

  1. Calcul de AP→⋅AQ→\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ}

    AP→⋅AQ→=(2⋅AB→+AC→)⋅(AB→−3⋅AC→)=2⋅AB2−6⋅AB→⋅AC→+AC→⋅AB→−3⋅AC2=2⋅AB2−3⋅AC2−5⋅AB→⋅AC→\begin{align*} \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} &= (2 \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AB} - 3 \cdot \overrightarrow{AC}) \\ &= 2 \cdot AB^2 - 6 \cdot \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} - 3 \cdot AC^2 \\ &= 2 \cdot AB^2 - 3 \cdot AC^2 - 5 \cdot \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \end{align*}

    Or, AC2=16AC^2 = 16 et AB2=9AB^2 = 9 et AB→⋅AC→=−6\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-6

    Ainsi, AP→⋅AQ→=0\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = 0, ce qui prouve que les vecteurs AP→\overrightarrow{AP} et AQ→\overrightarrow{AQ} sont perpendiculaires.

III. Applications du produit scalaire

1) Relations métriques dans un triangle rectangle.

Soit ABCABC un triangle rectangle en AA et HH est la projection orthogonale du point AA sur la droite (BC)(BC).

A B C H

Les relations métriques dans ce triangle sont :

  • BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2
  • BA2=BH×BCBA^2=BH\times BC
  • CA2=CH×BCCA^2=CH\times BC
  • HA2=HB×HCHA^2=HB\times HC

on sait que MN→2=∣∣MN→∣∣2=MN2\overrightarrow{MN}^2=||\overrightarrow{MN}||^2=MN^2

BC→2=(BA→+AC→)2=BA→2+2BA→.CA→+AC→2\begin{align*} \overrightarrow{BC}^2&=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})^2 \\ &=\overrightarrow{BA}^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}^2 \\ \end{align*}

or ABCABC est rectangle en AA donc BA→⊥CA→\overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{CA} et donc BA→.CA→=0\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}=0

Alors BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2

BA→2=BA→.BA→=BA→.(BC→+CA→)=BA→.BC→+BA→.CA→\begin{align*} \overrightarrow{BA}^2&=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BA} \\ &=\overrightarrow{BA}.(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}) \\ &=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA} \end{align*}

or BA→.CA→=0\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}=0 car BA→⊥CA→\overrightarrow{BA} \perp \overrightarrow{CA}

et BA→.BC→=BH×BC\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BH\times BC

Alors BA2=BH×BC\boxed{BA^2=BH\times BC}

  • De même : CA2=CH×BC\boxed{CA^2=CH\times BC}

  • AH→2=(AB→+BH→).(AC→+CH→)=AB→.AC→+AB→.CH→+BH→.AC→+BH→.CH→=0+AB→.CH→+BH→.CH→+BH→.AC→=(AB→+BH→).CH→+BH→.AC→=AH→.CH→+BH→.AC→=BH→.AC→=BH×HC\begin{align*} \overrightarrow{AH}^2&=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}).(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CH}) \\ &=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CH} \\ &=0+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}\\ &=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}).\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}\\ &=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}\\ &=\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}\\ &=BH\times HC \end{align*}

2) Théorème DE KACHI

ABCABC est un triangle

A B C
BC2=AB2+AC2−2.AB.AC.cos⁡A^\boxed{BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.\cos\hat{A}}
BC→2=(BA→+AC→)2=(AC→−AB→)2=∣∣AC→∣∣2−2AC→.AB→+∣∣AB→∣∣2=AB2+AC2−2AB.ACcos⁡A^\begin{align*} \overrightarrow{BC}^2 &=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)^2 \\ &=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2 \\ &=||\overrightarrow{AC}||^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+||\overrightarrow{AB}||^2\\ &=AB^2+AC^2-2AB.AC\cos\hat{A} \end{align*}

2) Théorème de la mediane

ABCABC est un triangle et II est le milieu de [BC][BC]

B C A I • • • •
AB2+AC2=2AI2+BC22\boxed{ AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC}2^2 }
AB→2+AC→2=(AI→+IB→)2+(AI→+IC→)2=AI→2+2AI→.IB→+IB→2+AI→2+2AI→.IC→+IC→2=2AI2+2AI→.(IB→+IC→)+IB2+IC2=2AI2+2AI→.0⃗+(BC2)2+(BC2)2=2AI2+BC22\begin{align*} \overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}^2&=\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\right)^2 +\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\right)^2\\ &=\overrightarrow{AI}^2+2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}^2 +\overrightarrow{AI}^2+2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IC}^2\\ &=2AI^2+2\overrightarrow{AI}.(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+IB^2+IC^2 \\ &=2AI^2+2\overrightarrow{AI}.\vec{0}+\left(\frac{BC}2\right)^2+\left(\frac{BC}2\right)^2 \\ &=2AI^2+\frac{BC^2}2 \end{align*}

Application 4

ABCABC est un triangle tels que :   BAC^=3π4,AB=22,AC=5~~\widehat{BAC} = \frac{3\pi}{4}, \quad AB = 2\sqrt{2}, \quad AC = 5

  1. Calculer BCBC.

  2. II est le milieu de [BC][BC]. Calculer AIAI.

  1. Calcul de BCBC :
    Selon le théorème de Al KACHI, nous avons :

    BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡(3π4)=(22)2+(5)2−2×22×5×(−22)=8+25+20=53\begin{align*} BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) \\ &= (2\sqrt{2})^2 + (5)^2 - 2 \times 2\sqrt{2} \times 5 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= 8 + 25 + 20 \\ &= 53 \end{align*}

    Donc, BC=53BC = \sqrt{53}.

  2. Calcul de AIAI :
    Selon le théorème de la médiane, nous avons :

    AB2+AC2=2×AI2+BC222×AI2=AB2+AC2−BC22=132\begin{align*} AB^2 + AC^2 &= 2 \times AI^2 + \frac{BC^2}{2} \\ 2 \times AI^2 &= AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2} \\ &= \frac{13}{2} \end{align*}

    Donc,

    AI2=134AI=132\begin{align*} AI^2 &= \frac{13}{4} \\ AI &= \frac{\sqrt{13}}{2} \end{align*}

III. Exercices

Exercice 1

Voir la figure :

B A C H 1 2 2
  1. Calculer BH→⋅BC→  \overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{BC}~~ ;   CH→⋅BH→  ~~\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{BH}~~ et   HA→⋅HB→~~\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}
  2. En déduire que : CA→⋅BH→=−2  \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BH}=-2~~ et   BA→⋅BC→=3~~\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=3

Exercice 2

Soit ABCDABCD un trapèze rectangle tel que: AB=6AB=6 et CD=5CD=5

et soient II et JJ les milieux respectifs de [AB][AB] et [CD][CD]

(Voir la figure).

D C B A D ʹ • I • J

Calculer les produits scalaires suivants :

AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} AI→⋅AB→\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AB}
AD→⋅CJ→\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CJ} AB→⋅CD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}
AI→⋅IJ→\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IJ} BI→⋅ID→\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{ID}

Exercice 3

  1. Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs du plan. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} dans les deux cas suivants :

    a) ∥u⃗∥=1\|\vec{u}\| = 1, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = \sqrt{3}, et (u⃗,v⃗‾)≡π6 [2π]\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \equiv \dfrac\pi6 \ [2\pi].

    b) ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v⃗∥=22\|\vec{v}\| = \frac{2}{\sqrt{2}}, et (u⃗,v⃗‾)≡5π4 [2π]\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \equiv \dfrac{5\pi}4 \ [2\pi].

  2. Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs du plan. Déterminer les mesures possibles de l’angle orienté (u⃗,v⃗)^\hat{(\vec{u}, \vec{v})} sachant que : ∥u⃗∥=4\|\vec{u}\| = 4, ∥v⃗∥=2\|\vec{v}\| = \sqrt{2}, et u⃗⋅v⃗=−26\vec{u} \cdot \vec{v} = -2\sqrt{6}.

Exercice 4

ABCABC un triangle isocèle en AA tels que AB=3AB=3 et BC=33BC=3\sqrt3.

  1. Calculer CA→⋅CB→\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}
  2. En déduire ACB^\widehat{ACB} et CAB^\widehat{CAB}

Exercice 5

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs du plan tels que : ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = 3, et (u⃗,v⃗‾)≡2π3 [2π]\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \equiv \dfrac{2\pi}3 \ [2\pi].

Calculer :

  • u⃗⋅v⃗;u⃗2;v⃗2\vec{u} \cdot \vec{v} \quad;\quad \vec{u}^2 \quad;\quad \vec{v}^2
  • (2u⃗−v⃗)⋅(u⃗+32v⃗)(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \frac{3}{2} \vec{v})

Exerccie 6

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs tels que : ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = 3, et (u⃗,v⃗‾)≡π2 [2π]\left(\overline{\vec{u}, \vec{v}}\right) \equiv \dfrac\pi2 \ [2\pi].

Calculer :

  • u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}
  • (2u⃗−3v⃗)2(2\vec{u} - 3\vec{v})^2

Exerccie 7

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs tels que : ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = \sqrt{2}, ∥v⃗∥=22\|\vec{v}\| = 2\sqrt{2}, et ∥u⃗+v⃗∥=4\|\vec{u} + \vec{v}\| = 4.

Calculer :

  • u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}
  • ∥u⃗−v⃗∥\|\vec{u} - \vec{v}\|

Exercice 8

ABCD est un parallélogramme tel que (BAD)^=π3\hat{(BAD)} = \dfrac\pi3, AD=4AD = 4, CD=6CD = 6, et soit OO le milieu du segment [AB][AB].

  1. Calculer les distances BDBD et ACAC.

  2. Montrer que pour tout point MM du plan, MA2+MB2=2MO2+18MA^2 + MB^2 = 2MO^2 + 18.

  3. En déduire l’ensemble des points MM du plan tel que MA2+MB2=24MA^2 + MB^2 = 24.

Exercice 9

Soit ABCABC un triangle tel que : AB=3AB = 3, AC=1AC = 1 et cos⁡(BAC^)=−13\cos(\hat{BAC}) = \frac{-1}{3}.

  1. Vérifier que : AB→⋅AC→=−1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -1.
  2. Calculer la distance BCBC.

Soient II et JJ les milieux respectifs de [BC][BC] et [AC][AC].

a/ Calculer AIAI et BJBJ.
b/ Calculer IA→⋅IB→\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}.

Soit EE un point du plan tel que : AE→=49AB→\overrightarrow{AE} = \frac{4}{9} \overrightarrow{AB}.

a/ Écrire le vecteur IE→\overrightarrow{IE} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
b/ Montrer que les droites (AB)(AB) et (IE)(IE) sont perpendiculaires.

Exercice 10

Considérons un trapèze ABCDABCD de bases [AB][AB] et [CD][CD] et rectangle en BB, tels que AB=BC=1AB= BC = 1 et AD=2AD = 2. (Voir la figure)

Soit II le milieu du segment [CD][CD] et HH est la projection orthogonale du point AA sur la droite (CD)(CD).

A B C D H • I

  1. Montrer que HAD^=π3\widehat{HAD}=\dfrac\pi3 (on peut calculer cos⁡HAD^\cos\widehat{HAD})

    En déduire que DAC^=7π12\widehat{DAC}=\dfrac{7\pi}{12}

  2. Calculer HDHD et Vérifier que DC=1+3DC=1+\sqrt3

  3. Calculer cos⁡7π12\cos\dfrac{7\pi}{12}

  4. Calculer AIAI