Calcul trigonométrique - partie 2

I. Equations et inéquations trigonométriques

1) Equations

Voir la figure avec $a$ une abscisse principale, c’est-à-dire : $a \in ]-\pi, \pi]$.

a) $\cos x=\cos a$

• Dans l’intervalle $]-\pi,~\pi]$ l’équation $\cos x=\cos a$ équivaut à :

  $$\boxed{x=a \text{ ou } x=-a}$$

• Dans l’intervalle $\R$ l’équation $\cos x=\cos a$ équivaut à :

  $$\begin{align*} \boxed{x=a+2k\pi \text{ ou } x=-a+2k\pi} \\ \text{Avec : }k\in\Z \end{align*}$$

Exemple

Résoudre dans $\R$ puis dans $]-\pi,\pi]$ l’équation : $\cos x=\dfrac12$

L’ensemble des solutions sera dans $\R$ est :

Dans $]-\pi,\pi]$ :

Remarques : cas particuliers

• $\cos x=1$ équivaut à : $x=2k\pi$
• $\cos x=-1$ équivaut à : $x=\pi+2k\pi$
• $\cos x=0$ équivaut à : $x=\dfrac\pi2+k\pi$

b) $\sin x=\sin a$

• Dans l’intervalle $]-\pi,~\pi]$ l’équation $\sin x=\sin a$ équivaut à :

  $$\boxed{x=a \text{ ou } x=\pi-a}$$

• Dans l’intervalle $\R$ l’équation $\sin x=\sin a$ équivaut à :

  $$\begin{align*} \boxed{x=a+2k\pi \text{ ou } x=\pi-a+2k\pi} \\ \text{Avec : }k\in\Z \end{align*}$$

Exemple

Résoudre dans $\R$ puis dans $]-\pi,\pi]$ l’équation : $\sin x=-\dfrac12$

L’ensemble des solutions sera dans $\R$ est :

Dans $]-\pi,\pi]$ :

puisque $k\in\Z$ donc $k=0$

et donc $-\dfrac\pi6+2k\pi=-\dfrac\pi6$

puisque $k\in\Z$ donc $k=-1$

et donc $\dfrac{7\pi}6+2k\pi=\dfrac{7\pi}6-2\pi=-\dfrac{5\pi}6$

Remarques : cas particuliers

• $\sin x=1$ équivaut à : $x=\dfrac\pi2+2k\pi$
• $\sin x=-1$ équivaut à : $x=-\dfrac\pi2+2k\pi$
• $\sin x=0$ équivaut à : $x=k\pi$

c) $\tan x=\tan a$

• L’équation est bien définie si $x\ne\dfrac\pi2+k\pi$ et $a\ne\dfrac\pi2+k\pi$ avec $k\in\Z$

• Dans l’intervalle $[0,~2\pi[$ l’équation $\tan x=\tan a$ équivaut à :

  $$\boxed{x=a \text{ ou } x=\pi+a}$$

• Dans l’intervalle $\R$ l’équation $\tan x=\tan a$ équivaut à :

  $$\begin{align*} x=a+2k\pi \text{ ou } x=\pi+a+2k\pi \\ x=a+2k\pi \text{ ou } x=a+(2k+1)\pi \\ \boxed{x=a+k\pi} \\ \text{Avec : }k\in\Z \end{align*}$$

Exemple

Résoudre l’équation dans $\R$ : $\tan(2x)=1$

l’équation est bien définie si $2x\ne\dfrac\pi2+k\pi$ avec $k\in\Z$ donc $x\ne\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2$

et on a : $\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2\ne \dfrac\pi8+\dfrac{k\pi}2$

L’ensemble des solutions sera dans $\R$ est :

2) Signe de $\cos x$ ; $\sin x$ et $\tan x$

On détermine le signe de $\cos x$ ; $\sin x$ et $\tan x$ selon la position du point $M(x)$ sur le cercle trigonométrique.

a) signe de $\cos x$

• $\cos x \ge 0$ si $M$ est sur l’arc rouge
• $\cos x \le 0$ si $M$ est sur l’arc vert

par exemple dans l’intervalle $[-\pi,\pi]$ on a :

b) signe de $\sin x$

• $\sin x \ge 0$ si $M$ est sur l’arc rouge
• $\sin x \le 0$ si $M$ est sur l’arc vert

par exemple dans l’intervalle $[0,2\pi]$ on a :

c) signe de $\tan x$

• $\tan x \ge 0$ si $M$ est sur l’arc rouge
• $\tan x \le 0$ si $M$ est sur l’arc vert

par exemple dans l’intervalle $]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2[$ on a :

3) Inéquations

La résolution d’inéquations trigonométriques est moins méthodique que celle des équations. Une bonne approche en général est de résoudre l’équation correspondante puis d’identifier les solutions sur le cercle trigonométrique

Exemples

1. Résoudrons dans $]-\pi;\pi]$ l’inéquation $cos(x)\ge\dfrac{1}{2}$

   $$\begin{align*} cos(x)=\dfrac{1}{2}~\text{ équivaut à : } \\ x=\dfrac{\pi}{3}\text{ ou } x=-\dfrac{\pi}{3} \end{align*}$$

   La solution de l’inéquation $cos(x)\ge\dfrac12$ est la partie en rouge,

   $$S=\left[-\dfrac\pi3;\dfrac\pi3 \right]$$

2. Résoudrons dans $]-\pi;\pi]$ l’inéquation $2sin(x)-\sqrt3<0$

   $$\begin{align*} sin(x)-\sqrt3=0 ~\text{ équivaut à : } \\ sin(x)<\dfrac{\sqrt3}2 \\ \\ x=\dfrac{\pi}{3}\text{ ou } x=\dfrac{2\pi}{3} \end{align*}$$

   La solution de l’inéquation $2sin(x)-\sqrt3<0$ est la partie en bleu, donc

   $$S=\left]-\pi;\dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3};\pi\right]$$

3. Résoudrons dans $]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[$ l’inéquation $tan(x)<1$

   $$tan(x)=1 \text{ équivaut à } x=\dfrac{\pi}{4}$$

   La solution de l’inéquation $tan(x)<1$ dans $]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[$ est la partie en bleu du cercle,

   $$S=\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi4\right[$$

II. Les fonctions $\cos$ et $\sin$

1) la fonction cosinus

Activité

1. Compléter le tableau

   $x$	0	$\dfrac\pi6$	$\dfrac\pi4$	$\dfrac\pi3$	$\dfrac\pi2$	$\dfrac{2\pi}3$	$\dfrac{3\pi}4$	$\dfrac{5\pi}6$	$\pi$
   $\cos x$

2. Représenter dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ les points $M(x;\cos x)$ figurant dans le tableau.

3. Relier les points entre eux pour obtenir l’allure de la fonction $\cos$ sur $[0,\pi]$

4. Utiliser la parité de la fonction $\cos$ pour compléter sa courbe sur $[-\pi,0]$

Correction

3. On sait que pour tout $x\in\R$ on a : $\cos(-x)=\cos(x)$ donc la fonction $\cos$ est paire

   Donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

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• La fonction $x\mapsto\cos x$ est définie sur $\R$
• pout tout $x\in\R$ : $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$, on dit que la fonction $\cos$ est périodique de période $2\pi$
• elle est paire
• sa courbe sur $\R$ :

• sa tableau de variations sur $[-\pi,\pi]$ :

2) la fonction sinus

Activité

1. Compléter le tableau

   $x$	0	$\dfrac\pi6$	$\dfrac\pi4$	$\dfrac\pi3$	$\dfrac\pi2$	$\dfrac{2\pi}3$	$\dfrac{3\pi}4$	$\dfrac{5\pi}6$	$\pi$
   $\sin x$

2. Représenter dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ les points $M(x;\sin x)$ figurant dans le tableau.

3. Relier les points entre eux pour obtenir l’allure de la fonction $\cos$ sur $[0,\pi]$

4. Utiliser la parité de la fonction $\sin$ pour compléter sa courbe sur $[-\pi,0]$

Correction

4. La fonction $\sin$ est une fonction impaire, c’est-à-dire que $\sin(-x) = -\sin(x)$.

   Pour compléter la courbe sur $[-\pi, 0]$, vous pouvez donc utiliser la symétrie par rapport à l’origine :

   • Pour chaque point $M(x, \sin x)$ sur $[0, \pi]$, placez le point $M(-x, -\sin x)$sur $[-\pi, 0]$.

   Par exemple : $M\left(-\dfrac\pi6, -\dfrac{1}{2}\right)$

---

• La fonction $x\mapsto\sin x$ est définie sur $\R$

• pout tout $x\in\R$ : $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$, on dit que la fonction $\sin$ est périodique de période $2\pi$

• elle est impaire

• sa courbe sur $\R$ :

• sa tableau de variations sur $[-\pi,\pi]$ :

III. Les angles inscrits, les quadrilatères inscriptibles

1) Angles inscrits - Angles au centre

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts d’un cercle ($C$) de centre $O$.

• L’angle $\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}}\right)$ est appelé angle inscrit qui intercepte l’arc $\overset{\frown}{AB}$.

• L’angle $\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}}\right)$ est appelé angle au centre qui intercepte l’arc $\overset{\frown}{AB}$.

Propriété :

• Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure ou ils sont supplémentaires.
• La mesure d’un angle au centre est le double de celle d’un angle inscrit qui intercepte le même arc.

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▶ Exemple:

On considère la figure ci-aprés :

1. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{COD}$
2. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{CBD}$.

Correction

1. L’angle $\widehat{COD}$ est un angle au centre associé à l’angle inscrit $$\widehat{CAD}$$.

   Donc : $\widehat{COD} = 2\widehat{CAD} = 2 \times 45 = 90^\circ$.

2. $\widehat{CBD}$ et $\widehat{CAD}$ sont deux angles inscrits dans le cercle ($C$) et interceptent le même arc $\overset{\frown}{CD}$.

   Donc : $\widehat{CBD} = \widehat{CAD} = 45^\circ$.

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2. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliques

Définition :

• Des points sont cocycliques s’ils appartiennent à un même cercle.

• Un quadrilatère est inscriptible si ses quatre sommets sont cocycliques.

Propriété :

Un quadrilatère est inscriptible si et seulement si deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires.

▶ Exemples

Les points $A, B, C$ et $D$ sont cocycliques.

$ABCD$ est un quadrilatère inscriptible dans le cercle $(C)$.

On remarque que :

et

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IV. Les relations métriques dans un triangle

Propriété :

Soit $(C)$ le cercle de rayon $R$ circonscrit à un triangle $ABC$, et soit $S$ la surface du triangle $ABC$.

On pose : $a=BC$ ; $b=AC$ et $c=AB$

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Exemple

Soit $ABC$ un triangle tel que : $\hat{B}=\dfrac\pi3$ ; $AB=\sqrt2$ et $AC=\sqrt3$

Déterminer $\hat{C}$ et $\hat{A}$ puis $BC$, $S$ et $R$

Correction

• pour $\widehat{C}$

  On a : $\dfrac{\sin \widehat{C}}{c} = \dfrac{\sin \widehat{B}}{b}$ équivaut à :

  $$\sin \widehat{C}=\dfrac cb \sin\widehat{B}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\sin\dfrac\pi3$$
  $$\sin \widehat{C}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt2}2$$

  et don $\widehat{C}=\dfrac\pi4$

• pour $\widehat{A}$

  on sait que $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\pi$ donc

  $$\begin{align*} \widehat{A}&=\pi-\widehat{B}-\widehat{C}\\ &=\pi-\dfrac\pi3-\dfrac\pi4\\ &=\dfrac{5\pi}{12} \end{align*}$$

• Pour $BC=a$

  on a $\dfrac{a}{\sin \widehat{A}} = \dfrac{b}{\sin \widehat{B}}$ équivaut à :

  $$a=b\times b \dfrac{\sin \widehat{A}}{\sin \widehat{B}}=\sqrt3\times \dfrac{\sin\dfrac{5\pi}{12}}{\sin\dfrac{\pi}{3}}$$

  avec une calculatrice : $a\approx1,93$

• Pour $S$

  On a : $S=\dfrac12 bc \sin\hat{A}\approx 1,27$

• Pour $R$

  $\dfrac{b}{\sin\hat{B}}=2R$ donc $R=\dfrac{b}{2\sin\hat{B}}=\dfrac{\sqrt3}{2.\sin\dfrac\pi3}=1$

Propriété :

Soit $(C)$ le cercle de rayon $r$ qui est inscrit à un triangle $ABC$, avec $p$ et $S$ respectivement le périmètre et la surface du triangle $ABC$.

Alors, on a :

V. Exercices

Voir la série des exercices de 7 à 12 sur le lien

Exercices calcul trigonométrique