Généralités sur les fonctions numériques

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Sommaire

I. Notion de fonction

1) Notions et ensemble de définition

Soit EE une partie de R\mathbb{R}.

Une fonction ff de EE dans R\mathbb{R} est une règle qui associe à chaque élément de EE un unique élément de R\mathbb{R}.

  • L’ensemble EE est appelé ensemble de définition de ff.
  • Pour chaque élément xx de EE, l’élément unique de R\mathbb{R} associé à xx par ff est appelé la valeur de la fonction en xx, notée f(x)f(x).
  • Si y=f(x)y = f(x), alors yy est appelé l’image de xx.

Notation

Les différentes écritures d’une fonction (exemple) :

  • La fonction ff définie sur [1;5][1;5] par f(x)=x2+1f(x)=x^2+1
  • La fonction : f:x→x2+1f:x\to x^2+1 pour x∈[1;5]x\in[1;5]
f:[1;5]→Rx↦x2+1\begin{align*} f:&[1;5]\to \R \\ &x\mapsto x^2+1 \end{align*}

Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\R par : f(x)=x−3f(x)=x-3

on a : f(1)=1−3=−2f(1)=1-3=-2

  • −2-2 est l’image de 11 par ff

  • 11 est l’antécédent de −2-2 par ff

Définition

L’ensemble de définition d’une fonction ff est l’ensemble des réels xx qui ont une image par ff

Df={x∈R  /   f(x) existe } D_f=\left\{x\in\R~~/~~~f(x)\text{ existe }\right\}

Exemples

  1. Soit f(x)=2x+1x−1f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}

    f(x)f(x) existe si et seulemnet si x−1≠0x-1\ne0 c’est à dire : x≠1x\ne1

    Donc le domaine de définition de la fonction ff est :

    Df=R−{1}D_f=\R-\{1\}

  2. Soit g(x)=x−3g(x)=\sqrt{x-3}

    g(x)g(x) existe si et seulemnet si x−3≥0x-3\ge0 c’est à dire : x≥3x\ge3

    Donc le domaine de définition de la fonction gg est :

    Dg=[3;+∞[D_g=[3;+\infty[

2) Représentation graphique

ff une fonction définie sur DfD_f et (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) un repère du plan

  • La représentation graphique ou courbe de ff est l’ensemble des points de coordonnées (x,f(x))(x,f(x)) où x∈Dfx\in D_f
  • La courbe de ff est notée (Cf)(C_f)
  • (Cf)(C_f) a pour équation y=f(x)y=f(x) dans le repère (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})
  • A(a,b)∈(Cf)A(a,b)\in(C_f) signfie que a∈Dfa\in D_f et f(a)=bf(a)=b

Exemple

ff une fonction et (Cf)(C_f) sa courbe dans le repère (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

-4 -3 -2 -1 2 3 4 5 -3 -2 -1 2 3 O ⃗ i ⃗ j ( C f ) • • • • A • • B
  • L’ensemble de définition de la fonction ff est : Df=[−4;5]D_f=[-4;5]
  • 33 a pour image 22 par ff
  • −2-2 est l’image de 00 par ff
  • 55 est un antécédent de 11 par ff
  • le nombre 11 a trois antécédents : −4-4; 22 et 55
  • Le point A(2,1)∈(Cf)A(2,1)\in(C_f) et B(1,2)∉(Cf)B(1,2)\notin(C_f)

II. Egalité de deux fonctions

Définition

On dit que deux fonctions ff et gg sont égales et on écrit f=gf=g si Df=DgD_f=D_g et f(x)=g(x)f(x)=g(x)

Exemple

Pour les deux fonctions définies par : f(x)=x2−2xf(x)=\frac{x^2-2}{x} et g(x)=x−2xg(x)=x-\frac{2}{x}

On a Df=R∗D_f=\R^* et Dg=R∗D_g=\R^* donc Df=DgD_f=D_g

g(x)=x−2x=x2x−2x=x2−2x=f(x) \begin{align*} g(x)&=x-\frac{2}{x}=\frac{x^2}{x}-\frac{2}{x}\\ &=\frac{x^2-2}{x}\\ &=f(x) \end{align*}

Donc ff et gg sont égales

II. Fonction paire et fonction impaire

Définion

  • on dit que ff est paire si pour tout x∈Dfx\in D_f on a : −x∈Df et f(−x)=f(x)-x\in D_f \text{ et } f(-x)=f(x)

  • on dit que ff est impaire si pour tout x∈Dfx\in D_f on a : −x∈Df et f(−x)=f(x)-x\in D_f \text{ et } f(-x)=f(x)

Remarque

La condition :

“pour tout x∈Dfx\in D_f on a −x∈Df-x\in D_f”

signifie que DfD_f est symétrique par rapport à 00

On dit aussi : DfD_f est centré en 00

Exemples

f(x)=x2+∣x∣f(x)=x^2+|x| et g(x)=x3−xg(x)=x^3-x

  • On a : f(x)=x2+∣x∣f(x)=x^2+|x| donc Df=RD_f=\R

    et R\R est centré en 00

    on a

    f(−x)=(−x)2+∣−x∣=x2+∣x∣=f(x)\begin{align*} f(-x)&=(-x)^2+|-x|\\&=x^2+|x|\\&=f(x) \end{align*}

    donc ff est paire

  • On a : g(x)=x3−xg(x)=x^3-x donc Dg=RD_g=\R

    et R\R est centré en 00

    on a

    g(−x)=(−x)3−(−x)=−x3+x=−(x3−x)=−g(x)\begin{align*} g(-x)&=(-x)^3-(-x)\\&=-x^3+x\\&=-(x^3-x)\\&=-g(x) \end{align*}

    donc gg est impaire

Propriété

  • ff est paire équivaut à la courbe (Cf)(C_f) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

Exemple

-3 -2 2 3 2 3 O ⃗ i ⃗ j ( C f )
  • ff est impaire équivaut à la courbe (Cf)(C_f) est symétrique par rapport à l’origine du repère

Exemple

-3 -2 2 3 -2 -1 2 3 O ⃗ i ⃗ j ( C f )

III. Variations d’une fonction

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II.

On dit que

  • ff est croissante sur II si pour tous réels a,b∈Ia,b\in I avec a<ba < b on a :
f(a)≤f(b)f (a) \leq f (b)
O⃗i⃗jx1f(x1)x2f(x2)
  • ff est décroissante sur II si pour tous réels a,b∈Ia,b\in I avec a<ba < b on a
f(a)≥f(b)f (a) \geq f (b)
O⃗i⃗jx2f(x2)x1f(x1)
  • ff est monotone sur II si ff ne change pas de sens de variation sur II
O⃗i⃗jx2f(x1)=f(x2)x1

Remarque

On obtient les définitions de strictement croissante ou décroissante en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.

Application

  1. Soit ff la fonction définie par : f(x)=2x+1f(x)=2x+1

    Montrer que ff est strictement croissante sur R\R

  2. Soit gg la fonction définie par : g(x)=1−xg(x)=1-x

    Montrer que gg est strictement décroissante sur R\R

Correction

  1. f(x1)=2x1+1f(x_1)=2x_1+1 et f(x2)=2x2+1f(x_2)=2x_2+1

    x1<x2 signifie que 2x1<2x2 signifie que 2x1+1<2x2+1 signifie que f(x1)<f(x2)\begin{align*} x_1<x_2 &\text{ signifie que } 2x_1<2x_2 \\ &\text{ signifie que } 2x_1+1<2x_2+1 \\ &\text{ signifie que } f(x_1)<f(x_2) \end{align*}

    Donc ff est strictement croissante sur R\R

    Tableau de vartions de ff sur R\R

    x−∞+∞f(x)

  2. g(x1)=1−x1g(x_1)={1-x_1} et g(x2)=1−x2g(x_2)={1-x_2}

    x1<x2 signifie que −x1>−x2 signifie que 1−x1>1−x2 signifie que g(x1)>g(x2)\begin{align*} x_1<x_2 &\text{ signifie que } -x_1>-x_2\\ &\text{ signifie que } 1-x_1>1-x_2 \\ &\text{ signifie que } g(x_1)>g(x_2) \end{align*}

    Donc gg est strictement décroissante sur R\R

    Tableeau de variations de gg sur R\R

    x−∞+∞g(x)
O(Cg)(Cf)

Définition

ff une fonction définie sur un intervalle II,on appelle taux de variation de ff le nombre

T(x1,x2)=f(x1)−f(x2)x1−x2T(x_1,x_2)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}

 avec x1,x2∈I et x1≠x2\text{ avec }x_1,x_2\in I\text{ et }x_1\ne x_2

Propriété

  • Si T(x1,x2)>0T(x_1,x_2)>0, alors ff est strictement croissante sur II
  • Si T(x1,x2)<0T(x_1,x_2)<0, alors ff est strictement décroissante sur II
  • Si T(x1,x2)=0T(x_1,x_2)=0, alors ff est constante sur II

Application

Soit ff la fonction définie sur R∗\R^* par : f(x)=x+4xf(x)=x+\frac4x

Soient a,b∈R∗a,b\in\R^* tel que : a≠ba\ne b. On pose T=f(a)−f(b)a−bT=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}

  1. Montrer que T=ab−4abT=\frac{ab-4}{ab}
  2. étudier les variations de ff sur les deux intervalles ]0;2]]0;2] et [2;+∞[[2;+\infty[
  3. Montrer que ff est impaire
  4. En déduire les variations de ff sur [−2;0[[-2;0[ et ]−∞;−2]]-\infty;-2]

voir aussi l’exercice 7 de la série

1. Montrer que T=ab−4abT = \frac{ab - 4}{ab}

On a f(x)=x+4xf(x) = x + \frac{4}{x}, donc :

f(a)=a+4a,f(b)=b+4b f(a) = a + \frac{4}{a}, \quad f(b) = b + \frac{4}{b}

Calculons TT :

T=f(a)−f(b)a−b=(a+4a)−(b+4b)a−b=(a−b)+(4b−4aab)a−b=(a−b)−4(a−bab)a−b=(a−b)(1−4ab)a−b=1−4ab=ab−4ab\begin{align*} T&= \frac{f(a) - f(b)}{a - b} \\&= \frac{\left( a + \frac{4}{a} \right) - \left( b + \frac{4}{b} \right)}{a - b} \\&= \frac{(a - b) + \left( \frac{4b-4a}{ab} \right)}{a - b} \\&= \frac{(a - b) -4 \left( \frac{a-b}{ab} \right)}{a - b} \\&= \frac{(a - b)\left(1-\frac{4}{ab}\right)}{a - b} \\&=1-\frac{4}{ab} \\&=\dfrac{ab-4}{ab} \end{align*}

2. Étude des variations de ff sur ]0;2]]0; 2] et [2;+∞[[2; +\infty[

  • pour l’intervalle ]0;2]]0;2]

    Si a,b∈]0;2]a,b\in]0;2] alors abab est positif

    et on a : 0<a≤20< a \le 2 et 0<b≤20< b\le 2

    donc 0<ab≤40<ab\le4 et donc ab−4≤0ab-4\le0

    donc abab positif et ab−4ab-4 est négatif

    donc T≤0T\le0

    D’où : ff est décroissante sur ]0;2]]0;2]

  • pour l’intervalle [2;+∞[[2;+\infty[

    Si a,b∈[2;+∞[a,b\in[2;+\infty[ alors abab est positif

    et on a : 2≤a2\le a et 2≤b2\le b

    donc 4≤ab4\le ab et donc ab−4≥0ab-4\ge0

    donc abab positif et ab−4ab-4 est positif

    donc T≥0T\ge0

    D’où : ff est croissante sur [2;+∞[[2;+\infty[

3. Montrer que ff est impaire

Pour montrer que ff est impaire, il faut montrer que f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) pour tout x∈R∗x \in \mathbb{R}^*.

Calculons f(−x)f(-x) :

f(−x)=−x+4−x=−x−4x=−(x+4x)=−f(x)\begin{align*} f(-x) &= -x + \frac{4}{-x} \\ &= -x - \frac{4}{x} \\ &= -(x + \frac{4}{x}) \\ &= -f(x) \end{align*}

Ainsi, ff est impaire.

4. Déduire les variations de ff sur [−2;0[[-2; 0[ et ]−∞;−2]]-\infty; -2]

Puisque ff est impaire, les variations sur [−2;0[[-2; 0[ et ]−∞;−2]]-\infty; -2] sont symétriques à celles sur ]0;2]]0; 2] et [2;+∞[[2; +\infty[ respectivement.

  • Sur ]−∞;−2]]-\infty; -2], ff est décroissante.
  • Sur [−2;0[[-2; 0[, ff est croissante.

IV. Extrimums d’une fonction

ff une fonction définie sur un intervalle II et a∈Ia\in I

  • Si f(x)≥f(a)f(x)\ge f(a) pour tout x∈Ix\in I, on dit que f(a)f(a) est une valeur minimale de ff sur II
  • Si f(x)≤f(a)f(x)\le f(a) pour tout x∈Ix\in I, on dit que f(a)f(a) est une valeur maximale de ff sur II

Exemples

  • pour : f(x)=1+x2f(x)=1+x^2

    on a x2≥0x^2\ge0 donc 1+x2≥11+x^2\ge1 donc f(x)≥f(0)f(x)\ge f(0)

    et donc f(0)f(0) est une valeur minimale de ff sur R\R

  • gg est la fonction éfinie par sa représentation graphique suivante

-4 -3 -2 -1 2 3 4 5 -3 -2 -1 2 3 O ⃗ i ⃗ j ( C g ) • • • • A •
  • g(0)=−2g(0)=-2 est la valeur minimale de gg sur [−4;5][-4;5]
  • g(3)=2g(3)=2 est la valeur maximale de gg sur [−4;5][-4;5]
  • D’aprés la courbe on gg est :
    • décrossantes sur [−4;0][-4;0]
    • croissante sur [0;2][0;2]
    • décroissante sur [2;5][2;5]

Donc le tableau de variations de gg sur [−4;5][-4;5] est

x−4025g(x)1−221

V. Exercices

Voir la série des exercices de 1 à 7 sur le lien

Généralités sur les fonctions numériques