Calcul trigonométrique - partie 1

I. Cercle trigonométrique - Abscisses curvilignes

1) Orientation d’un cercle

Soit $(C)$ un cercle et $I$ un point fixe sur ce cercle et $M$ un point mobile sur $(C)$ à partir de $I$

donc on a deux sens de parcours :

• un sens positif ou direct c’est sens contraire aux aiguilles d’une montre.

• L’autre sens, appelé sens négatif ou indirect, c’est le sens des aiguilles d’une montre.

2) Cercle trigonométrique

Définition

Un cercle trigonométrique est un crcle de rayon 1 en unité est situé à l’origine O(0,0) d’un repère orthonormé et orienté positivement.

$(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ est un repère orthonormé direct associe au cercle trigonométrique $(C)$

3) Le radian

• Le radian est une unité de mesure des angles.
• $1rad$ (1 radian) est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique un arc de longueur 1.

sachant que :

Remarque

• Le périmètre d’un cercle de rayon $r=1$ est $2r\pi=2\pi$

  donc : la mesure de l’angle plat en radian est $\pi$

• il existe une autre unité appelée “Grade”, notée $gr$ et la mesure d’angle plat en grade est $200$

• et donc : $180^\circ=\pi ~rad=200~gr$

Propriété

Si pour le même angle :

Exmple

Pour $y=30^\circ$ on a : $\dfrac{x}{\pi}=\dfrac{30}{180}=\dfrac{1}{6}$

donc $x=\dfrac{\pi}{6}~rad$

et donc $30^\circ=\dfrac{\pi}{6} ~rad$

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Remarque

Dans tout ce qui suit, on utilisera le plus souvant le radian comme unité de mesure des angles sans précisier à chaque fois “rad” s’il n y’a pas d’ambiguité.

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4) Abscisses Abscisses curvilignes

Dans la figure ci-aprés

• $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$ : repère orthonormé et $M\in(C)$
• La mesure de l’angle $\widehat{AOM}$ est $\alpha$ en radian avec $\alpha\in[0,2\pi[$
• $P$ est un point mobile sur le cercle $(C)$ à partir de $I$

Définitions

• Tout nombre de la forme $\alpha + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$, est appelé abscisse curviligne du point $M$.
• Abscisse curviligne principale : Si $\alpha \in ]-\pi, \pi]$, on dit que $\alpha$ est l’abscisse curviligne principale du point $M$.

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Exemple

Prenons un point $M$ à la position initiale définie par $\alpha = \frac{\pi}{6}$ (30 degrés).

• Position initiale :

  $$\alpha = \frac{\pi}{6}$$

• Après un tour complet :

  $$\alpha + 2\pi = \frac{\pi}{6} + 2\pi$$

  Le point $M$ est à la même position sur le cercle.

• Après deux tours complets :

  $$\alpha + 4\pi = \frac{\pi}{6} + 4\pi$$

  Le point $M$ est encore à la même position.

• Si $k = -1$ (un tour dans le sens horaire) :

  $$\alpha + 2(-1)\pi = \frac{\pi}{6} - 2\pi$$

  Le point $M$ revient à la même position sur le cercle après un tour dans le sens horaire.

• Si $k = -2$ (deux tours dans le sens horaire) :

  $$\alpha + 2(-2)\pi = \frac{\pi}{6} - 4\pi$$

Cela montre que la position du point $M$ est périodique avec une période de $2\pi$, et qu’ajouter $2k\pi$ (où $k \in \mathbb{Z}$) ne change pas la position du point sur le cercle.

Propriété : Relation entre deux abscisses curvilignes

Si $x$ et $\alpha$ sont deux abscisses curvilignes du même point $M$, alors :

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Notation de congruence

la relation $(*)$ peut s’écrire sous la forme :

et se lit :

$x$ est congru à $\alpha$ modulo $2\pi$.

Application

Détermination de l’abscisse curviligne principale de $\frac{13\pi}{5}$

Correction

On cherche à exprimer $\frac{13\pi}{5}$ sous la forme $\alpha + 2k\pi$, où $\alpha \in ]-\pi, \pi]$ et $k \in \mathbb{Z}$.

Méthode 1: Division euclidienne

On a : $13 = 5 \times 2 + 3.$
Donc :

Ainsi :

Comme $\frac{3\pi}{5} \in ]-\pi, \pi]$, $\frac{3\pi}{5}$ est l’abscisse curviligne principale de $\frac{13\pi}{5}$.

Méthode 2 : Résolution algébrique

L’abscisse curviligne principale de $\frac{13\pi}{5}$ s’écrit sous la forme :

où $\alpha \in ]-\pi, \pi]$.

On cherche à trouver $k \in \mathbb{Z}$ tel que :

Comme $k$ doit être un entier relatif ($k \in \mathbb{Z}$), la seule valeur possible dans l’intervalle $-1,8 < k \leq -0,8$ est :

On remplace $k$ par $-1$ dans l’expression de $\alpha$ :

L’abscisse curviligne principale de $\frac{13\pi}{5}$ est : $\boxed{\dfrac{3\pi}{5}}$

II. L’angle orienté de deux demi-droites

Soient deux demi-droites $[OA)$ et $[OB)$.

L’angle orienté entre $[OA)$ et $[OB)$ est noté : $([OA\widehat{), [}OB)).$

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Propriétés

• L’angle orienté peut être exprimé sous la forme $\theta + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$.

-La mesure principale est la valeur de $\theta$ dans l’intervalle $]-\pi, \pi]$.

• $\widehat{([OA), [OB))} = -\widehat{([OB), [OA))}$.
• Relation de Chasles : $\widehat{([OA), [OB))} + \widehat{([OB), [OC))} = \widehat{([OA), [OC))}$.

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si $(OA)$ est dirigée par le vecteur $\vec{u}$

et $(OB)$ est dirigée par le vecteur $\vec{v}$

Alors on écrit :

$\left(\widehat{\vec{u};\vec{v}}\right)=\theta$ et $\left(\overline{\vec{u};\vec{v}}\right)=\theta+2k\pi$ ou encore : $\left(\overline{\vec{u};\vec{v}}\right) \equiv\theta ~[2\pi]$

Propriétés

Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs non nuls du plan orienté.

• $\left(\overline{\vec{u}; \vec{u}}\right) \equiv 0 ~[2\pi]$

• $\left(\overline{\vec{u}; \vec{v}}\right) \equiv -\left(\overline{\vec{v}; \vec{u}}\right) ~[2\pi]$

• $\left(\overline{\vec{u}; \vec{v}}\right) + \left(\overline{\vec{v}; \vec{w}}\right) \equiv \left(\overline{\vec{u}; \vec{w}}\right) ~[2\pi]$

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Correction

III. Rapports trigonométriques d’un nombre réel.

Le cercle suivant est un cercle trigonométrique

Exemples

Correction

Propriété

Pour tout réel $x$ on a les propriétés suivantes :

• $-1\le cos(x)\le 1$
• $-1\le sin(x)\le1$
• $cos^2(x)+sin^2(x)=1$
• Puisque $x$ et $x+2k\pi$ avec $k\in\Z$ sont deux abscisses curvilignes de même points, alors:
  • $cos(x+2k\pi)=cos(x)$
  • $sin(x+2k\pi)=sin(x)$
  • $tan(x+2k\pi)=tan(x)$
• Pour tout réel $x\ne\frac\pi2+2k\pi$ avec $k\in\Z$ on a :
  • $tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$
  • $1+tan^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}$

2) cosinus - sinus- tangente des angles particuliers

$\alpha$	$0$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\displaystyle \sin(\alpha)$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle 1$	$0$
$\displaystyle \cos(\alpha)$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle 0$	$-1$
$\displaystyle \tan(\alpha)$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt{3}$	$\times$	$0$

3) Relations entre les rapports trigonométriques :

Par symétries, on démontre les résultats :

• $sin(-x)=-sin(x)$
• $cos(-x)=cos(x)$
• $tan(-x)=-tan(x)$

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• $sin(\pi-x)=sin(x)$
• $cos(\pi-x)=-cos(x)$
• $tan(\pi-x)=-tan(x)$

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• $sin(\pi+x)=-sin(x)$
• $cos(\pi+x)=-cos(x)$
• $tan(\pi+x)=tan(x)$

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Remarquez dans la figure ci-dessus :

• $OL=ON$ donc : $sin(\frac\pi2-x)=cos(x)$
• $OP=OH$ donc : $cos(\frac\pi2-x)=sin(x)$

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• $sin(\frac\pi2+x)=cos(x)$
• $cos(\frac\pi2+x)=-sin(x)$
• $tan(\frac\pi2+x)=-\frac{1}{tan(x)}$

IV. Exercices

Voir la série des exercices de 1 à 6 sur le lien

Exercices calcul trigonométrique- partie 1