Equations, inéquations et systèmes

#tcsf

Sommaire
Binôme ax+bax+b avec a≠0a\ne0
x−∞−ba+∞∣ax+bsigne(−a)0signe(a)∣\begin{array}{|c|lcr|} \hline & & & \\ x & -\infty & -\frac ba & +\infty \\ & & & \\ \hline & &| & \\ ax+b & \text{signe}(-a)&0& \text{signe}(a) \\ & &| & \\ \hline \end{array}
Le Trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a\ne0

le discriminant : Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac

Si Δ=0\Delta=0

l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, admet une solution double x0x_0 :

x0=−b2a\boxed{x_0=\frac{-b}{2a}}

Signe de ax2+bx+cax^2+bx+c est celle de aa

  • Factorisation
ax2+bx+c=a(x−x0)2ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2
Si Δ>0\Delta>0

l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, admet deux solutions x1x_1 et x2x_2:

x1=−b−Δ2a et x2=−b+Δ2a\boxed{x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}} \text{ et } \boxed{x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}}

Signe de ax2+bx+cax^2+bx+c

x−∞x1x2+∞∣∣ax2+bx+csigne(a)0signe(−a)0signe(a)∣∣\begin{array}{|c|lcccr|} \hline & & & & & \\ x & -\infty & x_1 & & x_2 & +\infty \\ & & & & & \\ \hline & & | & & | & \\ ax^2+bx+c & \text{signe}(a)& 0 & \text{signe}(-a) & 0 & \text{signe}(a) \\ & & | & & | & \\ \hline \end{array}
  • Factorisation
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
Si Δ<0\Delta<0

l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, n’a pas de solutions réelle :

Signe de ax2+bx+cax^2+bx+c est celle de aa

  • Factorisation

Pas de factorisation comme produit de deux binome à coefficient réelle.

Relation entre x1x_1 et x2x_2 si Δ>0\Delta>0
x1+x2=−ba et x1×x2=ca\boxed{x_1+x_2=-\frac ba} \text{ et } \boxed{x_1\times x_2=\frac ca}
Système : (L) {x+y=sxy=p(L)~\left\{\begin{matrix}x+y=s \\ xy=p\end{matrix}\right.

Revient à résoudre l’équation : X2−sX+p=0X^2-sX+p=0

  • Si Δ=s2−4p>0\Delta=s^2-4p>0 alors

    x1=s+Δ2x_1=\frac{s+\sqrt\Delta}{2} et x2=s−Δ2x_2=\frac{s-\sqrt\Delta}{2}

    et donc les couples (x1,x2)(x_1,x_2) et (x2;x1)(x_2;x_1) sont les solutions du système (L)(L)

  • Si Δ=s2−4p=0\Delta=s^2-4p=0 alors le couple (s2,s2)(\frac s2,\frac s2) est l’unique solution du système (L)(L)

  • Si Δ=s2−4p<0\Delta=s^2-4p<0 alors le système (L)(L) n’a pas de solution

Système : (S) {ax+by=ca′x+b′y=c′(S)~\left\{\begin{matrix}ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{matrix}\right.

Méthode de déerminant : on calcul D=∣aya′b′∣D=\left| \begin{matrix}a&y \\ a'&b'\end{matrix} \right| et Dx=∣cbc′b′∣D_x=\left| \begin{matrix}c&b \\ c'&b'\end{matrix} \right| et Dy=∣aca′c′∣D_y=\left| \begin{matrix}a&c \\ a'&c'\end{matrix} \right|

  • D≠0D\ne0
    • x=DxDx=\frac{D_x}D et y=DyDy=\frac{D_y}D
  • D=0D=0
    • Dx≠0D_x\ne0 ou Dy≠0D_y\ne0 : pas de solutions
    • Dx=0D_x=0 et Dy=0D_y=0 une infinité solutions