La droite dans le plan

#tcsf

Sommaire

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗)(O,~\vec{i},~\vec{j}) de base B(i⃗;j⃗)B(\vec{i};\vec{j})

Repère et coordonnés

considèrons

A(xA,yA) ; B(xB,yB) ; u⃗(x,y) et v⃗(x′,y′)A(x_A,y_A)~;~B(x_B,y_B)~;~\vec{u}(x,y)\text{ et }\vec{v}(x',y')
u⃗=xi⃗+yj⃗    ;;    v⃗=x′i⃗+y′j⃗\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} ~~~~;;~~~~ \vec{v}=x'\vec{i}+y'\vec{j}
AB→(xB−xA ; yB−yA)\overrightarrow{AB}(x_B-x_A~;~y_B-y_A)
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Si II est le milieu du segment [AB][AB], alors ses coordonnées sont données par :

xI=xA+xB2 et yI=yA+yB2x_I=\dfrac{x_A+x_B}2\text{ et }y_I=\dfrac{y_A+y_B}2
u⃗+v⃗(x+x′; y+y′)\vec{u}+\vec{v}(x+x';~y+y')
u⃗=v⃗ eˊquivaut aˋ x=x′ et y=y′\vec{u}=\vec{v}\text{ équivaut à }x=x'\text{ et }y=y'
αu⃗(αx;αy)\alpha \vec{u}(\alpha x;\alpha y)
  • On appelle déterminant des vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} dans la base BB le nombre réel :
det⁡(u⃗;v⃗)=∣xx′yy′∣=xy′−x′y\det(\vec{u};\vec{v})=\left|\begin{matrix} x & x' \\ y & y' \end{matrix}\right|=xy'-x'y
  • u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si et seulement si det⁡(u⃗;v⃗)=0\det(\vec{u};\vec{v})=0

Cette condition signifie que les vecteurs ont la même direction

La droite dans le plan

  • une droite (D)(D) a pour équation : ax+by+c=0ax+by+c=0 avec M(x;y)∈(D)M(x;y)\in(D) et a, ba,~b et cc sont constantes

  • Un vecteur u⃗≠0⃗\vec{u}\ne\vec{0} est dit vecteur directeur de (D)(D) : si sa direction est parallèle à celle de (D)(D)

( D ) ~ u A B ² ²

  • ax+by+c=0ax+by+c=0 est une équation cartésienne de (D)(D) si et seulement si u⃗(−b;a)\boxed{\vec{u}(-b;a)} vecteur directeur de (D)(D)

  • La représentation paramétrique de la droite (D)(D) est donnée par le système suivant :

    {x=xA+αty=yA+βt  (t∈R)\left\{\begin{matrix} x=x_A+\alpha t \\ y=y_A+\beta t \end{matrix}\right.~~(t\in\R)

    où A(xA;yA)∈(D)A(x_A;y_A)\in(D) et u⃗(α;β)\vec{u}(\alpha;\beta) vecteur directeur de (D)(D)

  • (D)∥(D′)(D)\parallel(D') équivaut à : det⁡(u⃗;u′⃗)=0\det(\vec{u};\vec{u'})=0

    avec

    • u⃗\vec{u} vecteur directeur de (D)(D)
    • u′⃗\vec{u'} vecteur directeur de (D′)(D')