Ordre dans ℝ

$a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels.

Ordre et opérations

• $a\le b$ équivaut à $a-b\le0$
• $a > b$ équivaut à $a-b>0$

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• $a\le b$ équivaut à $a<b$ ou $a=b$
• Si $a<b$ alors $a\le b$
• Pour tout $a\in\R$ on a : $a\le a$
• Si $a\le b$ et $a\ge b$ alors $a=b$

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• Si $a < b$ et $b < c$, alors $a < c$

• Ordre et addition

  • Si $a \leq b$, alors $a + c \leq b + c$ et $a - c \leq b - c$
  • Si $a \leq b$ et $c \leq d$, alors $a + c \leq b + d$

• Ordre et multiplication

  • Si $a \leq b$ et $c \geq 0$, alors $ac \leq bc$
  • Si $a \leq b$ et $c \leq 0$, alors $ac \geq bc$
  • Si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$, alors $0 \leq ac \leq bd$

• Ordre et inverse

  • Si $ab > 0$ et $a \leq b$, alors $\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{a}$
  • $-4 < 2$ mais $\dfrac{-1}{4} < \dfrac{1}{2}$, car les deux nombres n’ont pas le même signe

• Ordre, carré et racine carrée

  1. Si $a \geq 0$ et $b \geq 0$, alors :
     • $a \leq b$ équivalent à $a^2 \leq b^2$
     • $a \leq b$ équivalent à $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$
  2. Si $a \leq 0$ et $b \leq 0$, alors :
     • $a \leq b$ équivalent à $a^2 \geq b^2$

Encadrement

La différence $b - a$ est l’amplitude de l’encadrement $a\le x \le b$

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Valeur absolue

Dans un repère $(O,\vec{i})$, M est un point d’abscisse $a$ on a : $OM=|a|$

• Si $x\ge0$, alors $|x|=x$
• Si $x\le0$, alors $|x|=-x$

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• $|x| = |-x|$

• $\sqrt{x^2} = |x|$

• $|xy| = |x| \cdot |y|$

• $|x^2| = |x|^2 = x^2$

• $\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|} ~~~~ (y \ne 0)$

• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (inégalité triangulaire)

• $|x| = |y|$ équivaut à $x = y$ ou $x = -y$

• Soit $r \geq 0$, on a :

  • $|x| \leq r$ équivaut à $-r \leq x \leq r$
  • $|x| \geq r$ équivaut à $x \geq r$ ou $x \leq -r$

Intervalles

Intervalles bornés

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intervalles non bornés

• les symboles $+\infty$ et $-\infty$, qui se lisent respectivement plus l’infini et moins l’infini, ne représentent pas des nombres réels, ils ont simplement pour but de permettre l’extention d’une écriture commode.

Remarques

• Avec $+\infty$ ou $-\infty$, le crochet est toujours ouvert

• Un intervalle est un ensemble infini de nombres réels.

• Ne pas confodre l’intervalle $[a,b]$ et l’ensemble $\{a;b\}$ formé seuls éléments $a$ et $b$

Intersection et réunion :

soient $I$ et $J$ deux intervalles

• L’intersection de $I$ et $J$, notée $I \cap J$, est l’ensemble des réels $x$ appartenant à $I$ et à $J$ ; le symbole $\cap$ se lit «inter».
• L’union ou la réunion de $I$ et $J$, notée $I \cup J$, est l’ensemble des réels xappartenant à $I$ ou à $J$ ; le symbole $\cup$ se lit «union».

Remarques

• En mathématiques, le « ou » est inclusif, Il ne signifie pas « ou bien » mais il « inclut » la possibilité du « et »

• En notation symbolique :

  • $x\in I\cup J$ équivaut à $x\in I$ ou $x\in J$

  • $x\in I\cap J$ équivaut à $x\in I$ et $x\in J$

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Résultats

• $[a,a]=\{a\}$
• $\R^-=]-\infty,0]$
• $\R^{*+}=]0,+\infty[$
• $\R^+=[0,+\infty[$
• $]a,a[=[a,a[=]a,a]=\emptyset$
• $\R^*=\left] -\infty ; 0 \right[ \cup \left] 0 ;+\infty \right[$
• $\R^{*-}=]-\infty,0[$.

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On dira que l’intervalle $[a ; b]$ a :

• pour centre le nombre $c=\frac{a+b}{2}$
• pour amplitde (ou diamètre) le nombre $b-a$
• pour rayonle nombre $r=\frac{b-a}{2}$

Approximations

Soient $a,x,b\in\R$ tel que : $a\le x \le b$ ou $a<x<b$, alors

• $a$ est un valeur approchée de $x$ par défaut à $b-a$ prés
• $b$ est un valeur approchée de $x$ par excès à $b-a$ prés
• $\frac{a+b}{2}$ est un valeur approchée de $x$ à $\frac{b-a}{2}$ prés

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Soit $x\in\R$ et $N\in\Z$ et $p\in\N$,

Si on a : $N\times10^{-p}\le x \le (N+1)\times10^{-p}$

• $N\times10^{-p}$ s’appelle une approximation décimale du nombre $x$ par défaut à $10^{-p}$ près
• $N\times10^{-p}$ s’appelle une approximation décimale du nombre $x$ par excès à $10^{-p}$ près