Résumé, Les Ensembles ℕ, ℤ, ℚ et ℝ

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Sommaire

Ensembles : ℕ, ℤ, ℚ et ℝ

  • L’ensemble des entiers naturels :
N={0,1,2,3,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}
  • L’ensemble des entiers naturels non nuls :
N∗={1,2,3,… }=N∖{0}\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N} \setminus \{0\}
  • L’ensemble des entiers relatifs :
Z={…,−2,−1,0,1,2,… }\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}
  • L’ensemble des nombres décimaux :
D={a⋅10n∣a∈Z,n∈Z}\mathbb{D} = \{ a \cdot 10^n \mid a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z} \}
  • L’ensemble des rationnels :
Q={pq∣p∈Z,q∈N∗}\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^* \right\}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Opérations dans R\R

1) Addition

L’addition dans R\mathbb{R} possède les propriétés suivantes :
elle est commutative, associative, elle admet 00 comme élément neutre,
et tout réel admet un symétrique unique.

Pour tout aa, bb et cc dans R\mathbb{R}, on a :

  • a+b=b+aa + b = b + a  (commutativité)
  • (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)  (associativité)
  • a+0=0+a=aa + 0 = 0 + a = a  (00 élément neutre)
  • a+(−a)=(−a)+a=0a + (-a) = (-a) + a = 0  (−a-a symétrique de aa)

2) Multiplication

La multiplication dans R\mathbb{R} possède les propriétés suivantes :
elle est commutative, associative, elle admet 11 comme élément neutre,
et tout réel non nul admet un inverse unique.

Pour tout aa, bb et cc dans R\mathbb{R}, on a :

  • ab=baab = ba  (commutativité)
  • (ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc)  (associativité)
  • a×1=1×a=aa \times 1 = 1 \times a = a  (élément neutre)
  • Si a≠0a \neq 0, alors a×1a=1a×a=1a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1  (1a\frac1a inverse de aa)

La multiplication est distributive par rapport à l’addition : pour tout aa, bb et cc de R\mathbb{R}, on a :

a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times c

Les identités remarquables

  • (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  • (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
  • (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
  • (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Les puissances

  • b0=0b^0 = 0 et a1=aa^1 = a
  • a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}
  • an×am=an+ma^n \times a^m = a^{n+m}
  • anam=an−m\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}
  • an×bn=(a×b)na^n \times b^n = (a \times b)^n
  • anbn=(ab)n\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n
  • (an)m=an×m\left(a^n\right)^m = a^{n \times m}
  • 10n=100…0⏟n zeˊros(n≥0)10^n = 1 \underbrace{00 \dots 0}_{n \text{ zéros}} \quad (n \geq 0)
  • 10−n=0,00…0⏟n zeˊros1(n≥0)10^{-n} = \underbrace{0,00 \dots 0}_{n \text{ zéros}} 1 \quad (n \geq 0)

Écriture scientifique

Tout nombre décimal positif peut s’écrire sous la forme a×10na \times 10^n où a∈Za \in \mathbb{Z} et a∈Da \in \mathbb{D} tel que 1≤a<101 \leq a < 10 et n∈Zn \in \mathbb{Z}.

Les racines carrées

Soit a,b∈R+a, b \in \mathbb{R}^+ :

  • a2=(a)2=a\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2 = a
  • an=(a)n\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}
  • ab=ab\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}
  • ab=ab(b≠0)\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b \neq 0)